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Masa, Inercia y Fotones en Relatividad Especial

Hugo A Fernández - hafernandez@fibertel.com.ar

Profesor Titular de Física Moderna - Universidad Tecnológica Nacional - Argentina

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Masa

La masa es una de las magnitudes físicas que más veces ha sufrido modificaciones debidas al avance del conocimiento, tanto en su definición como en su interpretación conceptual.

La mecánica de Newton asumió que la masa (inercial y gravitatoria) era un invariante, e introdujo el fundamental concepto de que la masa inercial es la magnitud escalar que mide la inercia del cuerpo, entendiendo con esto último la resistencia a modificar su estado de movimiento, mientras que la masa gravitatoria es la magnitud escalar que determina la magnitud de la fuerza de naturaleza gravitatoria que actúa sobre él.
Experimentalmente se ha comprobado con altísima precisión la igualdad entre masa inercial y gravitatoria, hecho que confirma la famosa conjetura de Galileo sobre que todos los cuerpos caen con la misma aceleración. 
Este tratamiento inicial no tuvo contradicciones con la antigua propuesta elemental que consideraba a la masa como una medida de la cantidad de materia.

Su definición operativa admite varios tratamientos distintos, entre los que se destacan el de Mach y el de Maupertuis. El primero de ellos (Mach) permite determinar la masa relativa entre dos partículas que interactúan, postulando que las aceleraciones sufridas por ellas son colineales durante toda la interacción, de acuerdo con el Principio de Acción y Reacción. La definición de Maupertuis surge de un principio extremal que se traduce finalmente a la conservación de la cantidad de movimiento total para partículas que interactúan en un sistema aislado.

La aparición de la mecánica relativista introdujo cambios drásticos. En primer lugar, si mantenemos la definición clásica de cantidad de movimiento y su conservación en ausencia de fuerzas exteriores, la masa inercial de un cuerpo deja de ser invariante, tomando su menor valor cuando está en reposo respecto del observador. Más aún, la masa inercial de cualquier ente físico capaz de interactuar pasa a ser una magnitud relativa al sistema de referencia y por ello se la denominó masa relativista.

Es evidente que la masa como cantidad de materia no es aceptable en este enfoque. Por otro lado, las definiciones de Mach y Maupertuis no son aplicables en su forma convencional debido a la existencia de una velocidad tope y a que las interacciones instantáneas entre partículas (acción a distancia) no tienen validez rigurosa.
 
El estudio particular de la caída libre relativista en presencia de un campo gravitatorio constante nos indica que una descripción consistente del movimiento de un cuerpo material se obtiene si utilizamos la masa relativista, tanto para su masa gravitatoria como para su masa inercial. En consecuencia, la masa relativista adquiere un papel fundamental en los procesos dinámicos y, como veremos, resulta ser una “propiedad dinámica” o “parámetro de estado dinámico” del cuerpo.

La masa relativista puede ser rigurosamente descrita por dos relaciones distintas (vinculadas) y de validez universal, dando el mismo resultado numérico, una de ellas fundamentada en el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento y la otra en el Principio de Equivalencia entre Masa y Energía.

 

Resulta importante destacar que la usual creencia sobre que la masa relativista de un cuerpo depende sólo de su velocidad, como aparentemente se infiere de la primera expresión, no es rigurosamente cierta pues la masa en reposo de un cuerpo no es en general un invariante. Este error histórico se debe a que los especialistas dedicados a partículas elementales asumen que ellas no poseen niveles discretos de energía, por lo cual cualquier interacción solamente puede provocar cambios de su velocidad.
Por otro lado, los múltiples experimentos sobre “defecto de masa” confirman que un núcleo atómico excitado, al igual que un átomo excitado, posee distinta masa propia que cuando está en su estado fundamental.

El Principio de Equivalencia entre Masa y Energía permite dar una definición rigurosa de la masa relativista, como la magnitud que mide el contenido de energía total de cualquier sistema físico.

En consecuencia, la masa de un sistema físico presenta un sólo grado de libertad, por lo cual su valor queda unívocamente determinado en cada instante por el contenido de energía, cualquiera sea el proceso involucrado.
Esta nueva definición incorpora naturalmente el concepto de masa a los campos y las radiaciones (fotones), tema que será tratado por separado.

Dado que la masa relativista de un sistema es directamente proporcional a su energía, y que el contenido de energía de un sistema es una propiedad del mismo, resulta claro que la masa relativista es una propiedad dinámica de los sistemas, sean masivos o no masivos, indicando con esto último la existencia o no de masa propia.

La condición de propiedad de una magnitud puede ser tratada matemáticamente.
Una vez definida una magnitud física cualquiera corresponde indicar sobre qué tipo de fenómenos se intenta analizar su rol. Decimos que una magnitud h es una propiedad de un sistema físico real si cumple con:

 

Siendo C cualquier trayectoria cerrada (proceso físico relacionado con h).

En nuestro caso de interés resulta inmediato ver que la masa relativista de un sistema dado debe ser una propiedad del mismo pues solamente depende de una variable que es una propiedad del sistema, el contenido energético del mismo, por lo cual dm es un diferencial exacto.
Cualquier proceso que en su desarrollo contenga modificaciones de energía implicará cambios proporcionales de su masa relativista, la cual volverá a tomar el mismo valor inicial si el sistema recupera su estado energético inicial, cualquiera sea la forma en que lo haga, cumpliéndose:

 

Nota: Resulta paradójico y lamentable que algunos especialistas promuevan abolir sin motivo real el uso de esta magnitud fundamental para la mecánica, para lo cual apelan a argumentos matemáticos de escaso o nulo contenido físico y opiniones subjetivas sin fundamento (Okun – 1989). Ello implica un desconocimiento concreto de profundos conceptos físicos que contiene la Teoría Especial de Relatividad.

Inercia

El fenómeno de inercia de los cuerpos materiales resulta más complejo de analizar que en mecánica clásica debido a que en mecánica relativista la fuerza aplicada y la aceleración adquirida pueden tener distinta dirección y, además, a que la velocidad de un objeto no puede superar la velocidad de la luz.
La tendencia de los cuerpos a conservar su estado de movimiento y los factores que intervienen en el fenómeno pueden ser estudiados con la expresión relativista de la aceleración (ver “Dinámica relativista”):

 

Resulta evidente que la masa relativista no es suficiente para caracterizar la inercia de un cuerpo, ya que la aceleración adquirida depende también de una relación vectorial entre la velocidad y la fuerza aplicada.

Aclaremos un poco más este tema. La expresión anterior muestra que si solamente aumentamos la masa de un cuerpo su aceleración disminuye, lo cual es consistente con el concepto de masa como una medida de la inercia.
Sin embargo, para un mismo cuerpo de masa m, el segundo término del numerador nos indica que la aceleración depende también de la velocidad del cuerpo, requisito necesario para que un cuerpo masivo no pueda alcanzar la velocidad de la luz bajo ninguna circunstancia. Nótese que el segundo término es un vector con el sentido de la velocidad, por cuya razón el módulo de la aceleración tangencial a la velocidad será menor cuanto mayor sea la velocidad.
En consecuencia, podemos concluir que la inercia de un cuerpo depende de la masa del mismo y de su estado de movimiento.  

Las componentes de la aceleración (longitudinal y transversal a la velocidad) permiten una determinación experimental de la masa relativista de un cuerpo material que no requiere conocer "a priori" su masa propia m0 , lo que resulta de gran utilidad si se trata de partículas cargadas en presencia de campos eléctricos y/o magnéticos.
En efecto, despejando la masa relativista m en cualquiera de las dos componentes, preferentemente la transversal pues resulta independiente de la velocidad, obtenemos:

 

La Teoría Especial de Relatividad nos demuestra entonces que el fenómeno de inercia de los cuerpos tiene dos causas de distinta naturaleza: la masa relativista, que es una propiedad del cuerpo, y la imposibilidad de superar la velocidad de la luz.
Como vemos, el concepto de masa como la medida única de la inercia de un cuerpo deja de ser rigurosamente válido en la Teoría Especial.

Fotones

La teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico (1905) postula que la luz está formada por partículas no masivas (fotones) que se propagan con velocidad c en el vacío. Un fotón posee una energía , siendo h la constante de Planck y v la frecuencia (color) de la radiación.
Por otro lado, la Teoría electromagnética, que es relativista de nacimiento, demuestra que el campo se propaga en el vacío con la velocidad de la luz (c), cualquiera sea la forma (estructura) que adopte dicho campo.

La Física Moderna y la Mecánica Cuántica hicieron extensivo este concepto de fotón a todas las radiaciones no masivas emitidas o absorbidas por la materia.

Obviamente, este nuevo ente físico no resultó consistente en mecánica clásica pues una partícula con energía cinética sin masa resulta una contradicción, pero puede ser bien tratado en el marco relativista y sus propiedades dinámicas pueden ser obtenidas sin dificultad, como veremos a continuación.

La Teoría de Relatividad permite demostrar que si aceptamos como hipótesis que los fotones se propagan a la velocidad de la luz, entonces necesariamente tienen masa propia nula, masa relativista y cantidad de movimiento no nulos, y el módulo de su velocidad no puede ser modificado. De esta manera, procesos tales como el efecto Compton, el efecto Doppler, el efecto Mössbauer y el efecto Einstein, entre muchos otros, pueden ser teóricamente tratados con la mecánica relativista.

  • Por definición, la masa relativista de un fotón está dada por:

 

Nótese que la masa relativista de un fotón siempre es >0.

  • Por definición de cantidad de movimiento obtenemos:

 

En consecuencia, la cantidad de movimiento de un fotón no puede ser nula.

  • La masa propia de un fotón es nula y ello puede ser demostrado de varias maneras.
    Veamos un razonamiento físico (1) y otro matemático (2):

    1 - El Principio de Equivalencia entre masa y Energía establece:

 

Reemplazando la energía y la cantidad de movimiento por sus expresiones genéricas, obtenemos m0=0

    2 – La masa relativista siempre debe cumplir con la expresión general:

 

En el caso de fotones la velocidad es c, haciendo nulo el denominador en la expresión anterior y la relación pasa a ser una indefinición numérica. La única posibilidad matemáticamente compatible con una masa relativista m finita (número real), que evita la indefinición, es que la masa propia del fotón también sea nula. En este caso la relación queda indeterminada pero no resulta inconsistente con una masa relativista finita.

  • El módulo de la velocidad de los fotones no puede ser modificado. Ello puede demostrarse con la expresión general de la aceleración tangencial, que ocurriría debido a una interacción, dado que esta componente de la aceleración es la única que produciría cambios del módulo de la velocidad.

 

Claramente se observa que para un fotón con velocidad c la aceleración tangencial se anula, lo que implica que no hay posibilidad alguna de modificar el módulo de su velocidad. Se concluye que los fotones sólo pueden tener una única velocidad (c), que resulta ser la misma para todo observador (es absoluta).

Esto último parece estar en contradicción con la propagación de la luz en medios transparentes, pues la óptica ondulatoria asume que la velocidad de propagación de la luz depende del índice de refracción del medio.
La teoría cuántica de radiación explica la propagación en un medio material como una consecuencia de múltiples interacciones radiación materia, predominando el proceso de absorción emisión por parte de los componentes del medio.
Los fotones son absorbidos y emitidos posteriormente, pero ello ocurre en un tiempo característico, lo que se manifiesta como una velocidad media de la radiación, menor que la velocidad instantánea (c) de cada fotón.