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Trabajo y Energía

Comenzaremos el estudio sobre energía tratando el caso de una partícula (puntual) de masa propia m0, en estado libre en un sistema inercial. Cuando aplicamos una fuerza externa ello provocará un cambio de su cantidad de movimiento que podemos calcular con el Teorema del Impulso, como vimos en el apartado anterior.

Ahora vamos a profundizar el estudio de las modificaciones dinámicas que sufre la partícula sobre la que actúa una fuerza externa, a través del Trabajo (W) que realiza la fuerza aplicada. El trabajo elemental de una fuerza se define como:

Usando la definición de fuerza obtenemos:

Recordando la expresión de la masa relativista, tenemos:

En consecuencia, despejando m v dv, quedará

Reemplazando en la ecuación del trabajo elemental dW, queda una expresión muy sencilla:

Resulta evidente que el trabajo elemental realizado se tradujo en una variación de su masa relativista. Dado que la misma sólo depende de la velocidad, es inmediato ver que la variación de la masa se debe a la variación de la velocidad de la partícula.

El Trabajo de la Fuerza a lo largo de un camino quedará expresado por:

Siendo m1 y m2 la masa de la partícula en el punto inicial y final, respectivamente. Reemplazando la masa relativista queda:

En mecánica clásica el trabajo realizado por la fuerza es igual a la variación de la energía cinética de la partícula (Teorema de las fuerzas vivas). Veamos si el cálculo relativista es compatible con dicho Teorema, como debería ser de acuerdo al Principio de Correspondencia. Para ello debemos analizar qué sucede cuando  .

Debemos ser cuidadosos como hacemos este análisis, pues si tomamos límite para 8 , resulta W=0. En la aproximación hemos tirado el agua de la tina con el bebé (v) y el patito (c), es decir que directamente eliminamos las velocidades.
Para evitar esto último desarrollemos en serie de McLaurin (1698 - 1746) la siguiente expresión genérica:

Haciendo cálculos y quedándonos con la aproximación de primer orden, tenemos:

Reemplazando en la ecuación original y operando, se obtiene el resultado esperado.

En consecuencia, para una partícula sobre la cual aplicamos una fuerza a lo largo de un camino, el Trabajo de la fuerza es igual a la variación de su energía cinética, y ella está implícitamente incorporada en la variación de la masa relativista.

 

Nótese que la trayectoria, la masa y la posición son relativas al sistema de referencia. En consecuencia, el trabajo de una fuerza será también una magnitud relativa al sistema de referencia. 

Ahora veamos cómo se calcula la energía cinética que posee una partícula. Si en la posición inicial la partícula está en reposo, entonces el trabajo (W) de la fuerza será igual a la energía cinética final. Es decir:

 

Fuerza relativista

En el apartado anterior (el de dinámica) definimos la fuerza por la relación F=dp/dt.
Desarrollando esta expresión tenemos:

 

Utilizando la expresión dW=c2dm se obtiene:

 

Despejando se llega a la importante relación

 

Esta expresión tiene varias consecuencias destacables, ya vistas:

  • Demuestra que ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz en el vacío (ver apartado anterior).
  • Demuestra que ninguna radiación o partícula no masiva puede modificar el módulo de su velocidad (ver apartado anterior).
  • Muestra la inconsistencia relativista de la Ley de Newton si la misma es expresada por F=ma (ver apartado anterior). 

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