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Postulados de la Teoría de Relatividad

Fundamentación

Supongamos tener una fuente luminosa en reposo respecto de un observador O1 en un sistema inercial, y otros dos observadores en movimiento relativo constante respecto del primero, tal que el O2 se acerca y el O3 se aleja, como muestra la figura.

VelocidadLuz

Los tres observadores miden la velocidad de la luz proveniente de S.
Asumiendo que están en el vacío el observador O1 mide c (300.000 Km/seg).
De acuerdo a la Teoría de Relatividad de Galileo, aplicando el teorema de adición de velocidades, el observador O2 debería medir c+V, y el O3 mediría c-V.

Una serie de experimentos ópticos muy precisos, realizados con un interferómetro por los investigadores norteamericanos Michelson y Morley, dieron reiteradamente como resultado que los tres observadores miden la misma velocidad C.

Ante este hecho se plantean dos soluciones posibles:

          1 – La medición está mal realizada.

          2 – Las transformaciones de Galileo son incorrectas.

Resulta obvio que los científicos especialistas de la época se inclinaron masivamente por la opción 1, pues la otra implica la invalidez del soporte de la mecánica de Newton.

Uno de los intentos más elaborado que tuvo aceptación parcial fue hecho por H. Lorentz (1853-1928), que propuso que dado que cualquier equipamiento que se use para medir velocidad debe inexorablemente medir espacio y tiempo, el movimiento relativo entre observadores, respecto del "éter" en un sistema de referencia "absoluto", provocaba modificaciones físicas en sus respectivos equipos, tales que los espacios recorridos y los tiempos empleados se determinaban con error. Completó sus argumentos fundamentándolos con su Teoría del electrón (publicada un tiempo después) y haciendo el cálculo de las modificaciones espaciales y temporales que debía sufrir el dispositivo, encontrando las relaciones de espacio y tiempo en función de la velocidad del observador respecto de la fuente. Estas leyes se conocieron como “Transformaciones de Lorentz”.

No todos los científicos compartían esta postura. Existe una anécdota atribuida al gran físico matemático francés Henri Poincaré (1854-1912), que habría dicho: “Es más probable que sea un error de cuenta cada vez que la hicieron, que sea cierta la propuesta de Lorentz de errores inteligentes”.

En el año 1900 Poincaré hace conocer su análisis sobre la proposición de Lorentz, indicando que "si la Teoría de Lorentz es correcta habría que abandonar probablemente algunos principios de la mecánica newtoniana". Agrega: "la teoría del electrón no sólo viola el principio de acción y reacción sino la conservación del momento" (Berkson, 1981). Esto último es la principal e insalvable inconsistencia pues la conservación del momento era (y sigue siendo) un principio universal. Sobre este tema volveremos más adelante.

Albert Einstein, que aparentemente desconocía las Transformaciones de Lorentz, eligió la opción 2.
En su trabajo científico "Sobre la Electrodinámica de Cuerpos en Movimiento", luego rebautizado como Teoría de Relatividad (por sugerencia de Max Planck), dedujo las transformaciones espacio temporales que vinculaban a dos sistemas inerciales, que paradójicamente resultaron ser las Transformaciones de Lorentz, aunque con una interpretación absolutamente diferente.

Postulados de la Teoría de Relatividad Especial

En su trabajo original Einstein hace inicialmente un análisis sobre simultaneidad de eventos y lo vincula con la medición de distancias y tiempos, detallando un método adecuado para sincronizar relojes en distintos puntos de un sistema inercial, válido bajo condiciones de isotropía y homogeneidad del espacio y uniformidad del tiempo.

Por razones didácticas un análisis sobre espacio y tiempo lo trataremos por separado en este mismo capítulo.
Aceptemos, por el momento, que en un sistema inercial la métrica está establecida y el tiempo está sincronizado. Un objeto en reposo mide lo mismo en cualquier posición del espacio y orientación del objeto (homogeneidad e isotropía), y un evento o fenómeno bajo las mismas condiciones tarda lo mismo en cualquier lugar y momento en que ocurra (uniformidad).

Los postulados de La Teoría de Relatividad Especial enunciados por Einstein son:

  1. Principio de Relatividad.
    Las leyes que describen los cambios de  los sistemas físicos no resultan afectadas si estos cambios de estado están referidos a uno u otro de dos sistemas de coordenadas en traslación con movimiento uniforme.
  2. Principio de invariancia de la velocidad de la luz.
    Cualquier rayo de luz se mueve en el sistema estacionario con velocidad "c", tanto si el rayo es emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento.

El primer postulado está indicando que en todos los sistemas inerciales todos los fenómenos ocurren de la misma forma, es decir que tienen el mismo comportamiento, por lo cual todos los sistemas inerciales resultan absolutamente equivalentes e indistinguibles.
No hay posibilidad alguna de determinar cual está en reposo o en movimiento. Sin duda, este enunciado hace innecesario e incluso contradictorio la existencia de un sistema de referencia absoluto. Asimismo, incorpora implícitamente el Principio de Inercia.

No debe confundirse lo anterior con que una magnitud física tomará el mismo valor en todos los sistemas inerciales, pues una magnitud no es una ley. Supongamos, por ejemplo, un fenómeno eléctrico simple, una carga puntual en reposo en el origen de coordenadas de un sistema inercial.
En este sistema un observador medirá un campo eléctrico E estacionario y un campo magnético B=0, dado que no hay corrientes ni imanes. Otro observador en movimiento relativo constante medirá un campo eléctrico E’ que no es estacionario, pues para este observador la carga se está moviendo, y un campo magnético B’ distinto de cero debido a que la carga que está en movimiento es una corriente.

O sea, las magnitudes involucradas tienen diferente valor para dos observadores en movimiento relativo. Sin embargo, las leyes (Ecuaciones de Maxwell) que describen el fenómeno son las mismas en los dos sistemas.
Su aplicación en cada uno de los sistemas dará el resultado correcto, siendo diferente en cada sistema los valores de las magnitudes que intervienen.

El segundo Postulado acepta la constancia de la velocidad de la luz como un Principio Universal, sustentado en resultados experimentales, resultando la clave para vincular dos sistemas inerciales ya que permite encontrar las transformaciones de coordenadas necesarias para que la velocidad de la luz sea la misma en ambos sistemas. 

Espacio y Tiempo

La Teoría de Relatividad no es un modelo sobre el movimiento de los cuerpos, o de la Mecánica o del Electromagnetismo, ni sobre alguna disciplina particular de la Física.
Es una teoría sobre el espacio y el tiempo, que trata sobre sus propiedades y de qué manera ellas inciden y regulan las leyes sobre el comportamiento de los fenómenos naturales.

Tratemos de describir brevemente algunos aspectos de interés sobre la evolución que sufrieron estos conceptos básicos fundamentales.

La experiencia mostró que el espacio físico (tridimensional) posee una simetría particular por la cual el tamaño y la forma de los objetos materiales en reposo respecto de un observador no dependen de la posición ni de la orientación del objeto.
Este simple hecho permite determinar empíricamente una unidad de medida espacial e introducir el concepto de distancia, requisito necesario para reconocer la geometría correspondiente al espacio, que resultó la euclídea, válida para todo observador.
Estas propiedades se conocen hoy como homogeneidad e isotropía del espacio.

Análogamente, por observación de los fenómenos naturales periódicos se asumió que el tiempo físico, concepto que permite ordenar la ocurrencia de sucesos (“antes” y “después”), era una magnitud unidimensional mensurable que admite una definición similar a la de distancia, llamada intervalo o duración. La experiencia mostró también que el tiempo físico poseía una simetría particular por la cual la duración de un dado evento causal, bajo idénticas condiciones, no dependía del lugar de ocurrencia ni del instante de inicio.
Esta propiedad actualmente se denomina uniformidad del tiempo.

Hasta fines del siglo XIX se suponía que el espacio y el tiempo eran magnitudes independientes con valores absolutos, por lo cual toda medición de distancia o de intervalo era idéntica para todo observador. Nuestro Universo era tridimensional, de geometría euclídea, y solamente su evolución requería el análisis temporal, sin que ello incidiera en las propiedades del espacio.
La métrica del espacio (euclídeo tridimensional) era invariante, condición que puede expresarse en coordenadas cartesianas mediante:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2       Invariante

Esta interpretación, aceptada durante más de dos milenios, puede ser entendida con un ejemplo cotidiano. Supongamos tener una dada secuencia de fotos de un móvil, obtenidas a intervalos conocidos y cámara fija, tal que el movimiento del objeto puede estudiarse por comparación y así conocer la evolución del fenómeno dinámico.
Cada foto será distinta pero ellas siguen siendo bidimensionales, su métrica espacial es la misma (y su escala se conserva).

Los trabajos de Lorentz y Poincaré, aparecidos alrededor del año 1900, mostraron que las “distancias” e “intervalos”, medidos sobre un mismo fenómeno por observadores en movimiento relativo, daban resultados distintos y dependientes de la velocidad entre observadores. La geometría espacial seguía siendo euclídea para cada observador (para cuerpos en reposo) pero las distancias y los intervalos medidos no eran idénticos (nacía la relatividad post Galileo), es decir que la métrica euclídea tridimensional no era invariante.
Con el advenimiento de la Teoría de Relatividad de Einstein (1905) quedó claramente establecido que para todo observador inercial el espacio y el tiempo conservaban las históricas propiedades, pero sus métricas (espacial y temporal) diferían entre sistemas de referencia con movimiento relativo constante. Las transformaciones de Lorentz eran las relaciones funcionales que vinculaban dos sistemas de referencia inerciales.

Sin embargo, inicialmente no se entendió que esta relación funcional (Lorentz) entre sistemas de referencia inerciales implicaba algo mucho más profundo: el Universo era esencialmente de cuatro dimensiones.    
Este descubrimiento se debió a Minkowski (1908) quien se percató que la pérdida de invariancia de la métrica euclídea espacial era debida a la relación existente entre el espacio y el tiempo, por lo cual la métrica correcta debía contener al tiempo.
La adecuada métrica invariante en cuatro dimensiones se deduce fácilmente de las Transformaciones de Lorentz, resultando: 

ds2 = c2dt2 – (dx2+dy2+dz2)        Invariante

Debido a los signos distintos de las partes espacial y temporal en el segundo miembro, esta métrica se denominó seudo euclídea a propuesta de Klein y Hilbert.

Importantes estudios contemporáneos han mostrado que las propiedades de simetría del espacio y el tiempo, representadas mediante su métrica en un espacio de cuatro dimensiones (y su invariancia), son suficientes para fundamentar la Teoría de Relatividad Especial, sin necesidad de recurrir a los postulados propuestos por Einstein.

Específicamente se ha demostrado que si aceptamos que los fenómenos que ocurren en nuestro Universo responden a una métrica cuadridimensional seudo euclídea del espacio-tiempo, entonces el Principio de Relatividad y la existencia de una velocidad tope y absoluta pueden ser obtenidos como consecuencias. 
De acuerdo con el notable físico ruso A. Logunov, la Teoría de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los fenómenos físicos suceden en un espacio cuadridimensional cuya geometría es seudo euclídea.

Consecuencias

Esta formulación moderna de la Relatividad Especial (Logunov, 1996) reviste una extraordinaria importancia ya que establece rigurosamente que las condiciones de validez de la teoría dependen única y exclusivamente de las propiedades del espacio y el tiempo asignadas. No es necesario postular la constancia de la velocidad de la luz ni el Principio de Relatividad.

Es fundamental resaltar que la homogeneidad e isotropía del espacio, la uniformidad del tiempo, y la métrica seudo euclídea invariante, que convalidan la Teoría Especial de Relatividad, son exactamente los mismos postulados que fundamentan los llamados Principios Universales de conservación (Teorema de Emmy Noether, 1915), por lo cual todas las leyes válidas en esta teoría poseen la misma jerarquía que las leyes de conservación de la energía, de la cantidad de movimiento y del momento angular.

En consecuencia, el extraordinario descubrimiento hecho por A. Logunov nos pone frente a una integración histórica de las leyes relativistas de la Física y los Principios Universales, generando una situación crítica, ya que el incumplimiento de cualquiera de estas leyes relativistas que signifique invalidar sus fundamentos obligará a revisar todo el conjunto, pues todas ellas se derivan de los mismos postulados básicos.

Asimismo, la existencia de una velocidad máxima posible, única y absoluta, obtenida como consecuencia de asumir una geometría seudo euclídea del espacio-tiempo y su métrica invariante, clarifica que cualquier modelo teórico que proponga otra alternativa, tal como atribuir velocidades máximas diferentes para la gravedad y el electromagnetismo (T. van Flandern, "The speed of gravity - What the experiments say", 1998; S. Kopeikin, "Bi-metric theory of gravity", 2006, etc.), poseerá una métrica espacio temporal diferente a la seudo euclídea.
Dado que la forma matemática de una ley tiene implícita la geometría utilizada, las leyes que describen el comportamiento de los fenómenos serán distintas en marcos teóricos que usen diferentes métricas.

Destaquemos la evidente incompatibilidad entre las teorías General y Especial, debida a que las propiedades establecidas en cada caso para el espacio y el tiempo son contradictorias y antagónicas entre sí. Ante la presencia de masa ambas teorías tienen métricas espacio temporales distintas, lo que implica que los fenómenos se interpretan de manera distinta y, por supuesto, responden a leyes diferentes.
Como vemos, existe una profunda sutil diferencia entre cambiar de sistema de referencia espacio temporal, procedimiento usual, útil y lícito, a modificar sus propiedades cambiando la métrica.

No debemos extrañarnos, entonces, que en la Teoría General de Relatividad no se cumplan ni los Principios Universales ni la Relatividad Especial, dado que la métrica (espacio curvo) es dependiente de la distribución de materia. Más aún, ninguna ley relativista en el espacio de Minkowski es válida en la Teoría General, y ello incluye al Electromagnetismo de Maxwell. En este sentido digamos que hay una discusión centenaria respecto de la validez de la mal denominada Paradoja de Born, sobre que un electrón en movimiento hiperbólico no irradia en el espacio curvo de la Teoría General y si lo hace en el espacio de Minkowski de la Teoría de Maxwell.

Este tema puede ser profundizado con los siguientes trabajos:

1 – A. Logunov (“Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación”, Lecciones 1 y 2, 1998)

2 – N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), 1984)

3 - S. Cacciatori, V. Gorini, A. Kamenshchik ("Special Relativity in the 21st century", 2008)

4 - Mitchell J. Feigenbaum ("The Theory of Relativity - Galileo's Child", 2008) 
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