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Masa Propia y Potencia

Se define como masa propia (m0) de un sistema físico masivo al valor que ella toma cuando es medida en reposo. Para un cuerpo en movimiento su masa (relativista) resulta distinta a su masa propia y puede determinarse midiendo su cantidad de movimiento (p=mv). La relación entre la masa propia y la relativista está dada por la siguiente relación:

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Esta última expresión es consecuencia de la ley de conservación de la cantidad de movimiento, que a su vez resulta de aceptar la homogeneidad del espacio. Si esta relación entre masa propia y relativista tuviera alguna limitación deberíamos cuestionar las propiedades de simetría del espacio-tiempo aceptadas, y con ello la validez de la Teoría Especial de Relatividad. En consecuencia, en este marco teórico todo ente físico cuya velocidad sea c deberá tener masa propia nula pues, de lo contrario, la relación aludida no es válida (indefinición matemática).

Las propiedades de simetría del espacio-tiempo tienen como consecuencia que toda magnitud “propia” debe ser invariante ante Transformaciones de Lorentz, pues de lo contrario los sistemas inerciales serían distinguibles.
Se concluye entonces que la masa propia tendrá el mismo valor en todo sistema de referencia inercial.
Debe notarse que la invariancia relativista de la masa propia no implica que no pueda variar su valor en el tiempo, tal como sucede en los sistemas físicos reales durante una interacción.
Asimismo, la longitud propia de una varilla, que es invariante ante Transformaciones de Lorentz, resulta distinta si la caliento o enfrío. La invariancia describe que el valor instantáneo de una magnitud “propia” es el mismo para todo observador inercial, sin que ello signifique que sea constante en el tiempo.

La formulación de Minkowski de la Relatividad Especial (1907) trata sobre las propiedades que asignamos al espacio (homogeneidad e isotropía) y al tiempo (uniformidad), de acuerdo con el comportamiento observado de los fenómenos naturales, y las relaciones funcionales que esas magnitudes fundamentales cumplen en los sistemas inerciales.
Este modelo matemático, escrito en un espacio de Riemann de 4 dimensiones, denominado Espacio de Minkowski, provee un método analítico que fue fundamental para toda la Física Relativista.

En su aplicación a la Mecánica y por razones matemáticas, Minkowski sostuvo que la masa propia debía ser un invariante (de Lorentz) no dependiente del tiempo. Aunque no es objetivo de este curso plantear la Relatividad en lenguaje tensorial, resulta conveniente describir algunos aspectos contradictorios de esta formulación inicial que, en mi opinión, condujeron a malas interpretaciones posteriores.

Minkowski, usando cuadrivectores, propuso varias formas distintas (equivalentes) como ley fundamental del movimiento (ley tensorial, que representa cuatro ecuaciones escalares):

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Sin necesidad de un análisis o explicación extensa de esta ley, invariante por construcción, señalemos que ui es el cuadrivector velocidad, que fi es el cuadrivector fuerza, y que en todas las ecuaciones propuestas la masa o densidad propia están fuera de la derivada temporal.
El hecho de que haya utilizado la densidad propia sugiere además la pretensión de que este modelo sea válido para sistemas no puntuales.

Desde el siglo XVII sabemos que la fuerza está relacionada con la variación de la cantidad de movimiento y que en el caso en que m sea constante, como supuso Newton para un "punto material", se puede expresar como:

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Aparentemente, el matemático Minkowski siguiendo estas ideas asumió que la masa propia era invariante y constante en el tiempo, sin contemplar que ello conduce a resultados incorrectos si las interacciones involucran cambios de energía diferentes a los del trabajo mecánico sobre el centro de masa del sistema, tales como absorción o emisión de radiación, efecto Joule, cambios de estado, procesos termodinámicos con intercambio de calor, compresiones, rozamiento, deformación plástica, etc.

Poincaré, Einstein y Abraham (y seguramente otros físicos) hicieron notar que la propuesta inicial de Minkowski era incorrecta y que su uso en sistemas reales conducía a resultados inaceptables. De acuerdo al enfoque físico de la Relatividad de Einstein (1905) y al Principio de Equivalencia (1907), la masa propia no podía permanecer constante durante una interacción.

Abraham en 1909 demostró que la correcta formulación tensorial de la ecuación invariante de movimiento, expresada a continuación, debe considerar variable a la masa propia del sistema, poniendo orden en el modelo tensorial de la Mecánica Relativista.

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Asimismo, Pauli y Möller más tarde mostraron que si la masa propia de un sistema macroscópico se considera constante durante una interacción, la Termodinámica Relativista deja de ser válida desde sus fundamentos.
Este tema puede verse con más detalle en el tratado de Pauli (“Special Theory of Relativity”, Cap. 3 – pág. 108) y en el libro de Möller (“The Theory of Relativity”, Cap. 4 – pág. 106).

Aparentemente ello no fue incorporado convenientemente por parte de otros especialistas pues, salvo raras excepciones, la bibliografía y trabajos científicos, usualmente referidos a la física de partículas, tratan a la masa propia como si fuera un invariante constante en el tiempo en todos los casos, incluso algunos de manera explícita a pesar de los innumerables ejemplos que contradicen dicha postura, y modifican por conveniencia las leyes de acuerdo al problema.
Esta mala práctica tuvo consecuencias académicas lamentables, como rechazar la masa relativista como una propiedad fundamental de los sistemas físicos, desvirtuando el concepto relativista de inercia, o limitar el Principio de Equivalencia entre masa y energía sosteniendo insólitamente que sólo es válido para cuerpos en reposo (y ciertas formas de energía), o redefinir la cantidad de movimiento para acomodar la teoría a sus torpezas.
En definitiva, un conjunto de arbitrariedades innecesarias y perjudiciales, sobre todo para la enseñanza de la Relatividad, que costará años revertir.
 
Veamos cómo debe ser tratado el tema de la masa propia de manera simple.
Se define como masa propia de un sistema físico al valor de su masa medida en reposo en un sistema de referencia inercial.
Mostraremos que la masa propia de sistemas no puntuales necesariamente debe variar durante las interacciones si aceptamos válido el Principio de conservación de la energía.

Prestaremos mucha atención a cualquier magnitud relacionada con cambios de energía de un sistema físico, tal como la potencia, debido a que ello sucede en presencia de procesos causales, que denominamos interacciones.

La magnitud que mide la variación temporal del contenido de energía de un sistema físico es la potencia. Se define como potencia instantánea a la relación:

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De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, el contenido de energía de un sistema físico es directamente proporcional a su masa relativista, resultando:

 

Veamos ahora como relacionar la variación de la masa relativista de un sistema físico con los efectos de una interacción cualquiera. Por simplicidad supondremos que no hay rotación.
Para ello usaremos el teorema que vincula el trabajo de la fuerza total aplicada al centro de masa del sistema y la variación de la energía cinética que le provoca.

 

Hemos asumido que la masa propia m0 de un sistema físico real puede variar durante una interacción (ver Möller “The Theory of Relativity”, pág. 106).
Al respecto, veamos un caso particular muy ilustrativo.

  • Sea un átomo excitado en reposo que vuelve a su estado fundamental con emisión de un fotón. La energía del átomo excitado antes de la emisión es:

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La masa del átomo es la masa propia pues inicialmente está en reposo. El superíndice indica su estado excitado.

Con la emisión del fotón el átomo vuelve a su estado fundamental y adquiere movimiento uniforme en sentido contrario al del fotón emitido, que asumimos propagándose en sentido negativo de las x, cumpliéndose la conservación de la cantidad de movimiento del sistema. Dado que el problema es unidimensional no indicaremos componentes según los ejes del sistema de referencia.
Además, por conservación de la energía, se cumple que la energía del átomo excitado antes de la emisión es igual a la suma de la energía del átomo en estado fundamental y en movimiento uniforme, más la energía del fotón emitido.

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La masa relativista del átomo en estado fundamental tiene movimiento uniforme y cumple con:

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Siendo m0  la masa propia del átomo en estado fundamental. Operando obtenemos:

 

Queda demostrado que la masa propia de un átomo excitado es mayor que cuando está en su estado fundamental, y con ello que la masa propia no es una constante, aunque sea un invariante de Lorentz.

Por supuesto, es inmediato obtener (ver balance energético anterior) que el exceso de masa del átomo excitado es exactamente la masa relativista del fotón posteriormente emitido.

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Calculemos ahora cuanto aumenta la masa propia de un átomo excitado en las condiciones establecidas, respecto de su masa propia en estado fundamental.

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Nótese que el aumento de masa propia del átomo excitado es exactamente la masa que corresponde a la energía cinética adquirida por el átomo, luego de la emisión, más la del fotón emitido.

Nota:
Este tipo de análisis es aplicado de manera sistemática en el reconocimiento de productos de reacciones nucleares.

En consecuencia, la potencia instantánea de un sistema (no puntual) será:

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El trabajo mecánico elemental, sobre un cuerpo masivo, es dW=F.ds , siendo F la fuerza total aplicada (en su centro de masa), que debe incluir la reacción de radiación en el caso en que el sistema irradie de manera anisótropa.

La variación de energía por unidad de tiempo debida al trabajo mecánico es:

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La variación de energía por unidad de tiempo debida a procesos que no realizan trabajo mecánico sobre el centro de masa del sistema es:

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Veamos otros dos ejemplos que tratan con cambios de la masa propia del sistema.

1 – Enfriamiento o calentamiento de un cuerpo en reposo.
Sea dQ/dt la potencia calórica (o frigorífica) instantánea del sistema, es decir la cantidad de calor (en Joules) intercambiada por unidad de tiempo.
Por el Principio de Equivalencia entre masa y energía, la variación de la masa del sistema estará dada por:

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Dado que el sistema permanece en reposo en todo momento, no hay trabajo mecánico, y su masa es (por definición) la masa propia del sistema, que resulta función de la temperatura.
La potencia instantánea del sistema será:

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Como demostraremos, luego de estos ejemplos, esta Potencia instantánea es absoluta, es decir que todo observador inercial medirá el mismo valor de potencia calórica o frigorífica instantánea.

2 – Energía radiante y pérdida de masa del Sol
Para un observador terrestre y para intervalos temporales breves (un segundo en nuestro caso) el sol puede ser considerado en reposo en un sistema inercial.
Se ha estimado en 3.65 x 1023 kW la energía radiante total del Sol emitida por unidad de tiempo.
De acuerdo con el Principio de Equivalencia entre masa y energía, cada segundo el sol pierde 4.05 millones de toneladas, disminuyendo su masa propia. El cálculo simple es:

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La interpretación elaborada en este ejemplo (pérdida de masa propia) es utilizada en la teoría de evolución estelar dando resultados consistentes con la observación.

Nota:
Estos dos ejemplos muestran que en los sistemas físicos reales, si las interacciones no modifican su cantidad de movimiento, la variación de su masa propia es indispensable para el cumplimiento del Principio de conservación de la energía.

La potencia instantánea, en su expresión más general, está dada por:

   19       (1)


Relatividad de la Potencia

Usaremos las transformaciones relativistas generales de Lorentz para la energía y el tiempo, obtenidas para dos observadores inerciales (O,O’) con velocidad relativa V (constante).

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Siendo p=mv la cantidad de movimiento del sistema físico, medida por O.

La potencia instantánea cumplirá con:

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Siendo a la aceleración del sistema físico, medida por O.

La última expresión (2) debe ser analizada en detalle pues permite obtener conclusiones importantes sobre las características de las interacciones.
 
1 – Potencia Radiante
Si consideramos el sistema físico en un sistema aislado (sin campo gravitatorio), formado sólo por radiación, es inmediato ver que la potencia radiante (instantánea) en cada punto del espacio es la misma para todo observador inercial (P‘=P), pues la aceleración (a) de la radiación es siempre nula.

En presencia de un campo gravitatorio externo (con interacción campo-fotón), ello no se cumple pues hay aceleración transversal a la velocidad (c), salvo que la acción del campo tenga la misma dirección que la velocidad de la radiación.

2 – Interacciones con fuerza total aplicada nula
No se modifica la cantidad de movimiento del centro de masa del sistema, tal como ocurre en compresiones o expansiones isótropas, procesos térmicos de intercambio de calor con simetría esférica, emisión electromagnética de dipolo radiante en reposo, etc.

En todos estos casos la aceleración a es nula, resultando P’ = P.
Es decir que durante la interacción la potencia instantánea del sistema es la misma para todo observador inercial.

Nota:
Este resultado es consistente con el caso anterior pues, si un cuerpo en reposo irradia, la energía que pierde por unidad de tiempo debe ser igual a la potencia radiada, por el Principio de conservación de la energía.
Ambas potencias instantáneas son absolutas, por lo cual este proceso existe para todo observador y no puede ser eliminado con la elección de un sistema de referencia particular, siendo esto último una característica de todos los fenómenos causales. 

Por supuesto, la energía ganada o perdida por el sistema en un dado lapso es relativa al sistema de referencia debido a que la evolución temporal es distinta en diferentes sistemas inerciales.
Supongamos que el sistema físico está en reposo (v = 0) para el observador O y sufre un incremento dE sin modificar su estado de reposo. En ese caso para un observador O’ que se mueve con velocidad V, el incremento será:

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3 – Observador inercial comóvil (instantáneo) con el sistema físico
Primero destaquemos que si un sistema físico está acelerado, un observador inercial sólo estará comóvil con su centro de masa en un instante único, cuando V = v, es decir que para mantenerse comóvil con el objeto acelerado se requieren infinitos sistemas inerciales.

La expresión (2), que relaciona la potencia instantánea de un mismo proceso medida por dos observadores inerciales distintos, puede ponerse en función de la Fuerza total aplicada.

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Para el observador inercial comóvil instantáneo se cumple V = v, quedando:

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Reemplazando P por su expresión general (1) obtenemos:

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Durante una interacción aparecen fuerzas aplicadas no nulas, por lo cual un sistema físico no puntual debe sufrir modificaciones geométricas y dinámicas que alteran su contenido de energía total y también su masa propia.
La explicación de ello es que los procesos causales tienen un inicio y, dado que las fuerzas aplicadas no se transmiten a velocidad infinita a todos los puntos del sistema, aparecerán tensiones que alteran el sistema modificando su geometría y masa propia.
Lo importante, desde un punto de vista teórico, no es el valor de la modificación de la masa propia, que puede ser muy pequeña o incluso despreciable, sino la existencia de ella.

Dado que la masa propia de un sistema físico no puntual necesariamente debe modificarse durante una interacción, se concluye que todo observador comóvil podría medir potencia no nula de un sistema físico real, al menos en algún instante del proceso, y su valor dependerá de la variación temporal instantánea de la masa propia del sistema.

Podría plantearse que este último resultado no es aceptable físicamente porque la masa propia podría agotarse completamente si se le saca energía durante un tiempo suficiente.
Si el sistema está acelerado el planteo no es correcto ya que para un único observador la ley es válida sólo en un instante, por lo cual no es lícito sacar conclusiones que requieren “integrar” la ley en el tiempo. Nótese que en este caso un observador comóvil durante un tiempo finito corresponde a infinitos sistemas inerciales distintos, lo que equivale a decir que para un único sistema inercial hay trabajo mecánico pues el móvil posee aceleración y, en consecuencia, cambio de la masa propia.
Si el sistema físico está en reposo o con movimiento uniforme, como podría suceder con un cuerpo calentándose o enfriándose, el planteo tiene respuesta inmediata. Su masa propia aumentará mientras sea posible entregarle energía y disminuirá si la pierde, aunque en este último caso la experiencia y el Teorema de Nernst nos muestran que esas interacciones en sistemas macroscópicos no pueden mantenerse indefinidamente, por lo cual la masa propia alcanzará un valor mínimo no nulo.

Finalmente digamos que estas conclusiones (1, 2 y 3) invalidan la falsa creencia de que un electrón con aceleración propia constante (en movimiento hiperbólico) no irradia y que por ello el observador comóvil no detecta radiación (ver “La Paradoja de Born”).
En consecuencia, si un sistema irradia ello sucederá para todo observador, sea o no inercial.