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Dinámica relativista

La Teoría Mecánica puede ser formulada de manera axiomática de varias maneras, lo que históricamente dio lugar a diferentes enfoques (Newton, Lagrange, Poincaré, Einstein). Sin embargo, todos ellos tienen en común que sus postulados básicos, de una u otra forma, se fundamentan en los mismos tres aspectos distintivos del comportamiento de la naturaleza, que son:

  1. Cómo suceden los fenómenos para observadores distintos (relatividad).
  2. Cómo responden cuerpos distintos ante un mismo requerimiento (causalidad).
  3. Cómo se comportan los cuerpos entre sí (interacciones).

Para Newton (1643-1727) la formulación es con sus tres leyes (Principios), que en conjunto responden exactamente a cada uno de los puntos anteriores, y es de validez limitada a sistemas de referencia inerciales.
Este enfoque no requiere de ningún otro postulado básico, que alguna bibliografía redundantemente incorpora, como por ejemplo el llamado Principio de independencia de los movimientos, que resulta una consecuencia matemática del carácter vectorial de las magnitudes (velocidad, aceleración, fuerza).

Muchos autores, particularmente los correspondientes a la denominada “escuela americana” (Sears, Ingard y Kraushaar, Feynman), no suelen analizar en profundidad la fundamentación de la Mecánica, y tratan al Principio de Inercia (primera ley) como si estuviera contenido en la segunda ley de Newton, despreciando o ignorando un aspecto fundamental del enunciado, por el cual la primera ley es un Principio.
Como veremos, esta paupérrima interpretación induce a cometer dos errores graves: no comprender el significado del Primer Principio y creer que un Principio es demostrable.

Veamos más en detalle el tema en cuestión.
La primera ley de Newton establece que "Si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna éste permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme (MRU)".
No hay duda que el mismo describe explícitamente la ley de inercia de los cuerpos, desarrollada por Galileo.
Sin embargo, un aspecto muy significativo de este enunciado es que implícitamente contiene el Principio de Relatividad de los movimientos, ya que trata a ambos estados (reposo y MRU) como estados naturales equivalentes (ver A. Sommerfeld, "Lectures on Theoretical Physics - Mechanics"). Este simple hecho tiene varias consecuencias importantes:

  • Relaciona a observadores inerciales en movimiento relativo, pues un cuerpo en reposo para un observador se moverá con MRU para el otro.
  • Incorpora las transformaciones de Galileo, ya que son las únicas que satisfacen la equivalencia entre reposo y MRU conservando el carácter absoluto del tiempo.
  • Generaliza la teoría a todos los sistemas inerciales conteniendo, en consecuencia, el Principio de Relatividad de Galileo.

En mi opinión, postular la equivalencia entre el reposo y el MRU es el aspecto clave de este enunciado y le da entidad de Principio a la primera ley de Newton.

Si el objetivo de la primera ley tan sólo fuera establecer que la velocidad es constante cuando no hay fuerzas aplicadas, ello ya estaría contenido en la segunda ley y no haría falta referirse al estado de reposo (V=0) pues éste sería un caso particular. Obviamente, con esta interpretación parcial la primera ley de Newton no tendría razón de ser.
Probablemente esta interpretación incompleta del Principio de Inercia tenga su origen en la forma en que fuera enunciado por Newton, quién debió desterrar las ideas aristotélicas propias de esa época, por las cuales se asumía que para que un cuerpo se mueva hay que estar empujándolo.

Aunque este Curso de Relatividad no requiere el conocimiento de Mecánica Analítica (Euler, Lagrange, Hamilton), señalemos que su formulación se basa en un Principio extremal que resulta válido en cualquier sistema de referencia (inercial o no), mientras que las interacciones se tratan asumiendo que pueden ser descritas por funciones continuas que cumplen ciertos requisitos. Este enfoque es más general que el newtoniano y su estudio es necesario para la fundamentación y desarrollo de la Mecánica Cuántica.

Siguiendo las ideas de Poincaré y Einstein, la teoría de la mecánica, ya sea clásica o relativista, puede fundamentarse en las propiedades de simetría del espacio y del tiempo, y en el Principio de Relatividad, indicando con esto último que las leyes de la mecánica son las mismas en todos los sistemas inerciales.
La homogeneidad e isotropía del espacio y la uniformidad del tiempo, aceptados como postulados válidos para los sistemas inerciales, permiten deducir como teorema las transformaciones de coordenadas que correspondan, las de Galileo (mecánica clásica) si asumimos que el tiempo es absoluto, o las de Lorentz (mecánica relativista) si aceptamos que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales (ver Transformaciones de Lorentz).
En este enfoque la segunda ley de Newton ya no es un Principio, es la definición de fuerza.
Resumiendo, los axiomas de la teoría mecánica bajo este encuadre son:

  • Principio de Relatividad.
  • Homogeneidad e isotropía del espacio.
  • Uniformidad del tiempo.

Válidos para todo observador inercial.

Nota importante:
Estudios más profundos sobre las propiedades del espacio y el tiempo, iniciados por Poincaré (1904) y Minkowski (1908), y continuados por N. Mermin ("Relativity without light", Am. J. Phys. 52 (2), February 1984) y A. Logunov (1998), permitieron mostrar que la Teoría de Relatividad queda rigurosamente establecida postulando que los fenómenos físicos suceden en un espacio cuadridimensional cuya geometría es pseudo euclídea.
Al fijar la métrica no es necesario incorporar el Principio de Relatividad ni la constancia (absoluta) de la velocidad de la luz, pues ello se obtiene como consecuencia.
Un análisis completo puede verse en el extraordinario libro de A. Logunov ("Curso de Teoría de la Relatividad y de la Gravitación", lecciones 1 y 2).

La condición de invariancia de la velocidad de la luz en el vacío provocó la revisión de los conceptos sobre el espacio y el tiempo, modificando la formulación de la mecánica desde sus cimientos. Las Transformaciones de Lorentz ocuparon el lugar de las de Galileo y el Principio de Relatividad brindó la herramienta para la formulación de leyes relativistas.

Una ley clásica resulta relativista sólo si conserva su forma en los sistemas inerciales. Como vimos, esto condiciona a las variables físicas que intervienen en ella pues, ante transformaciones de Lorentz, deben modificarse de tal manera que la expresión de la ley sea la misma.

Pedir que las leyes conserven su forma no es un nuevo requisito. Cuando en mecánica clásica decimos que las leyes de Newton son válidas en todos los sistemas inerciales es exactamente decir que conservan su forma ante transformaciones de Galileo. Tal vez esto no era tan notorio en la mecánica clásica debido a que la fuerza, la masa y la aceleración son magnitudes invariantes ante transformaciones de Galileo, es decir, no modifican su valor al cambiar de un sistema inercial a otro inercial.

Lo nuevo en Relatividad Especial es el grupo de transformaciones que utilizamos (Lorentz), cuya aplicación usualmente provoca que las magnitudes involucradas en una ley sean relativas al sistema de referencia. En consecuencia, corresponde ser muy cuidadoso en la definición de las mismas.

Masa

El concepto básico que asumiremos es que la masa de un cuerpo, partícula o ente físico capaz de interactuar con otro, es una medida de su inercia, y su definición debe ser compatible con la conservación de la cantidad de movimiento, tema ya tratado.

Llamaremos partículas masivas a toda partícula que posea masa en reposo distinta de cero. Por razones históricas, las radiaciones (campos y fotones) se denominan arbitrariamente no masivas pues no poseen masa propia, aunque sí poseen masa relativista si se adopta p=mv como definición de cantidad de movimiento.

  • Como veremos oportunamente, la masa inercial de un cuerpo depende de su contenido energético, por lo cual el concepto de masa como cantidad de materia no resulta muy adecuado en esta formulación.
  • La definición de Newton, como la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración, que se mide con una balanza, hay que descartarla totalmente pues la fuerza y la aceleración no resultan colineales en mecánica relativista. Dado que ésta definición es utilizada por algunos pocos autores, digamos que en ese caso la masa deja de ser una magnitud escalar pues toma valores distintos según la dirección que se trate.
  • Una definición adecuada parece ser la de Maupertuis (m=p/v): la masa inercial es el cociente entre los módulos de la cantidad de movimiento y de la velocidad de la partícula. Esta definición fue analizada por el matemático Hermann Weyl (1885-1955) y puede adaptarse para partículas no masivas (fotones). Tiene el inconveniente que requiere previamente la definición de la cantidad de movimiento.
  • La definición operativa de Mach de masa relativa, utilizada en un apartado anterior, tiene una restricción formal menor, su definición no puede aplicarse a un sistema de más de dos cuerpos. Sin embargo, resulta una opción atractiva y es posible adecuarla incluso para partículas no masivas (fotones). En todos los casos las mediciones se deben realizar antes y después de la interacción.

Nosotros vamos a mantener el concepto de masa como una medida de la inercia.

Nota:
Un análisis más profundo nos demuestra que el fenómeno de inercia de los cuerpos tiene dos causas de distinta naturaleza: la masa relativista, que es una propiedad del cuerpo, y la imposibilidad de superar la velocidad de la luz, que es una consecuencia de las propiedades del espacio y del tiempo.

Por el momento, para partículas masivas, adoptaremos la definición de masa de Mach. Esta magnitud es relativa al sistema de referencia, y queda determinada por la expresión de masa relativista, ya vista en el apartado anterior.

 

Para partículas no masivas (fotones) aceptemos por ahora que su masa inercial está dada por:

El caso de masa inercial distribuida sobre un campo de radiación electromagnética es más complejo y requiere el conocimiento del vector de Poynting, por lo cual no será tratado en este curso inicial.

Luego, cuando veamos energía y el Principio de equivalencia entre masa y energía, daremos una definición precisa, más amplia y general, aplicable en todos los casos.

Cantidad de movimiento

Definimos como cantidad de movimiento a la magnitud vectorial p=mv, siendo m la masa inercial. 

Fuerza

La mecánica relativista puede formalmente proponerse partiendo de la definición de fuerza a través de la relación vectorial:

Siendo p=mv la cantidad de movimiento, con m la masa inercial que es la masa relativista, recientemente vista.

Considerando que ésta ley debe conservar su forma ante Transformaciones de Lorentz, se pueden obtener las fórmulas de transformación de las tres (3) componentes de la fuerza, resultando expresiones complicadas (ver Möller, “The Theory of Relativity”), debido a que la fuerza y la aceleración pueden no ser paralelas.

Desarrollando la expresión anterior obtenemos:

 

Resulta evidente que la fuerza y la aceleración no son colineales en general.
Ésta característica es una de las principales diferencias con la mecánica clásica y es la razón por lo que se dice que la fuerza es “conceptualmente” diferente en relatividad a la aceptada en la mecánica newtoniana.

Asimismo, corresponde reiterar que la expresión F=ma no es válida pues no es equivalente a la definición de fuerza que hemos adoptado y no debería ser utilizada.

El Teorema del Impulso y la variación de la cantidad de movimiento sale naturalmente de la definición de fuerza.


Resulta claro que si no hay fuerzas exteriores aplicadas se cumple la conservación de la cantidad de movimiento.

Permítanme ahora tratar una relación muy importante, derivada de la definición de fuerza, cuya demostración será dada luego de tratar el tema de energía relativista. Ella es:

 

Siendo v la velocidad de la partícula. Si descomponemos esta relación vectorial en dos componentes, transversal y tangencial a la velocidad, obtenemos:

 

Esta última expresión muestra claramente que si la velocidad de una partícula tiende a la velocidad de la luz (c), la aceleración en la dirección del movimiento tiende a cero (0), cualquiera sea el valor de la fuerza aplicada. En consecuencia, ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz en un tiempo finito.

Ahora supongamos que tenemos una partícula (fotón) que se desplaza a la velocidad de la luz, sobre la cual actúa una fuerza.
Las expresiones vistas muestran claramente que la aceleración tangencial siempre será nula, por lo cual no es posible modificar el módulo de su velocidad (c). Sólo es posible modificar su dirección pues la aceleración transversal puede no ser nula. Como veremos, la masa relativista del fotón es mf = hv/c2.

En la carpeta Temas Especiales se tratará el tema “Curvatura de la luz en Relatividad Especial".

Por otro lado, si reemplazamos la masa relativista y despejamos F, resulta:

 

Estas expresiones han dado lugar a que algunos autores que usan solamente la masa en reposo consideren, erróneamente, que la partícula posee una inercia “longitudinal” diferente de la “transversal”. Obviamente el error consiste en aceptar como válida la expresión F=ma. En la formulación planteada en este curso la masa que mide la inercia es la masa relativista, que es isótropa. 

Conclusiones

  • Ningún cuerpo material puede alcanzar la velocidad de la luz en el vacío.
  • Ninguna radiación puede modificar el módulo de su velocidad en el vacío.
  • Las radiaciones poseen masa inercial m>0 y masa propia nula.
  • Fuerza y aceleración no son colineales en general.

Nota:
Un fotón puede ser considerado una partícula pues reúne las tres características necesarias:

  1. Posee energía (hv).
  2. Posee cantidad de movimiento (hv/c).
  3. Posee estructura (campo, longitud de coherencia).

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