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Contracción espacial y Dilatación temporal

Hemos establecido a través de las Transformaciones de Lorentz que las métricas de dos sistemas inerciales en movimiento relativo son diferentes.
En consecuencia, debemos analizar qué pasa con el tamaño de los objetos y la duración de los fenómenos, cuando están o suceden en movimiento respecto de nosotros.
Por convención pondremos un subíndice 0 a todas las magnitudes que midamos en reposo respecto nuestro, y las llamaremos propias. Por ejemplo, una longitud propia será la que midamos en reposo respecto del objeto.

Contracción de longitudes

Un observador inercial mide el largo (longitud propia) de un objeto en reposo, determinando las coordenadas espaciales de sus extremos según indica la figura, resultando l0 = x2 – x1.


Se pretende determinar qué longitud le mediría otro observador O’ en movimiento relativo con velocidad constante.
Debemos eliminar o corregir las ilusiones ópticas producidas por la velocidad finita de la luz.
Por ejemplo, si quisiéramos determinar la longitud de un objeto en movimiento sacándole una foto cuando se está acercando o alejando, tendríamos que corregir las medidas obtenidas pues una foto, en esas condiciones, dará un tamaño aparente (ilusión óptica). Se propone al lector que muestre que la foto dará un tamaño mayor cuando se acerca y menor cuando se aleja.

Como el objeto está en movimiento para el observador O´debemos ser cuidadosos y adoptar un criterio de medición adecuado, como sería determinar ambas coordenadas “simultáneamente” en el sistema O’, lo que implica t’1 = t’2.

Luego debemos comparar la longitud l’ = x’2 – x’1 con la longitud propia mediante las Transformaciones de Lorentz.

Aquí aparece algo interesante para la resolución de problemas. Considerando que las Transformaciones de Lorentz directas o inversas son conceptualmente la misma cosa, podemos elegir usar las que nos convengan.
En nuestro caso usaremos las inversas porque ello simplifica los cálculos debido a que t’1 = t’2, resultando:

 

Despejando l’ obtenemos:


 

Conclusión:
La longitud de un objeto en movimiento es menor que cuando el mismo objeto está en reposo pues V/c es siempre menor que 1.

No debe entenderse esto como un efecto óptico o aparente, sino como el tamaño del objeto medido en movimiento, que resulta tanto menor cuanto más rápido se mueva respecto del observador. 

Ésta es una adecuada ocasión para discutir a qué se llama realidad en física.

En primer lugar digamos que la Física como ciencia intenta explicar cómo suceden las cosas y no porqué suceden. Todo lo que estamos elaborando y todas las teorías ya desarrolladas son modelos que procuran describir el comportamiento de los distintos fenómenos naturales lo mejor posible, pero los modelos no son el fenómeno. Esta postura es la científica y quedó plasmado desde el inicio mismo del método científico, creado por Galileo, cuando distinguió que la filosofía natural no incluye los mitos.

El gran físico-matemático argentino Jorge Staricco, en la introducción del magistral curso de Mecánica que dio en la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires en 1965, al cual asistí como alumno, dijo: la importancia de la Ley de atracción universal enunciada por Newton no es la relación funcional entre la fuerza y la distancia, que por otro lado hubiera sido resuelta por Cavendish un ratito después, sino cómo la introdujo: Todo pasa como si existiera una fuerza

Ahora permítanme que haga una pregunta directa sobre realidad:

¿Existe la fuerza de gravedad?

Recordemos que con el conocimiento funcional de la fuerza gravitatoria Newton demostró las Leyes de Kepler. Todo parece indicar que dudar de la existencia de la fuerza de gravedad es demencial.

En el año 1916 apareció otra Teoría que postulaba que la fuerza gravitatoria no existe, que las masas no se atraen pero tienen la propiedad de alterar la métrica espacio temporal. Con ella también se demostraron las Leyes de Kepler. Su autor fue Albert Einstein y la Teoría es la de Relatividad General.

Al no tener una respuesta lógica única, el concepto de realidad en la física se modificó durante el siglo XX, principalmente por el desarrollo de la Mecánica Cuántica y la Teoría de Relatividad, de tal manera que su interpretación fuera única.

El concepto de realidad es un tema filosófico que depende de la línea de pensamiento particular. 

Realidad, para la ciencia, es lo que muestran las mediciones y es válida solamente en el marco de la teoría correspondiente, cuya bondad y alcance no depende de las creencias del lector.
En consecuencia, digamos que todo pasa como si el tamaño “real” de un objeto fuera mayor cuando está en reposo que cuando está en movimiento, pues eso es lo que se mide. En el marco de la Teoría de Relatividad Especial los objetos en movimiento tienen un tamaño menor que en reposo.

Dilatación temporal

Un observador inercial mide la duración (tiempo propio) de dos sucesos que ocurren en un punto fijo (x0; y0; z0), como por ejemplo prender una lámpara en el instante t1 y apagarla en t2, estando en reposo respecto de la lámpara.

Esta duración resulta T0 = t2 – t1, y se pretende determinar qué valor T’ le medirá otro observador O’ en movimiento relativo con velocidad constante.

En este caso usaremos las Transformaciones directas porque ello simplifica los cálculos debido a que x1 = x2 = x0 resultando:

5 

Resulta evidente que T’ > T0 pues la velocidad relativa V debe ser menor que c

Conclusión:

Cualquier lapso medido (t2 – t1) de dos sucesos es relativo al sistema de referencia.
Asimismo, se demuestra que el tiempo propio de cualquier fenómeno es el menor valor posible de la duración de dicho evento.

Dado que este razonamiento es válido para todos los fenómenos naturales, todo observador verá que los procesos transcurren más lentamente cuando suceden en movimiento respecto de él, y este hecho será tanto más pronunciado cuanto mayor sea la velocidad relativa entre el sistema donde ocurre el fenómeno y el observador.

Nota:
Hemos calculado la contracción de la longitud de un objeto y la dilatación temporal de un reloj, ambos en reposo en el sistema O. Por supuesto que si estuvieran en reposo en el sistema O’ obtendríamos idénticas conclusiones simétricas pues todos los sistemas inerciales son equivalentes.

Tiempo propio

Cuando un cuerpo o sistema físico se mueve arbitrariamente, el tiempo propio de un proceso que ocurra en dicho objeto debe calcularse asumiendo que se tiene un reloj fijo en el objeto.
Un sistema de referencia fijo a un cuerpo que se mueve arbitrariamente puede no ser inercial, por lo cual en general no podremos aplicar las Transformaciones de Lorentz para comparar las métricas.
Sin embargo, si aceptamos que la aceleración no tiene influencia en la evolución temporal en dicho sistema no inercial, veremos que es posible calcular el tiempo propio buscado.
Destaquemos que esta suposición no tiene respaldo teórico alguno (ver Möller “The Theory of Relativity”, pág. 49) y no es verificada por determinaciones experimentales incuestionables (GPS), por lo cual este tema será tratado en detalle por separado.

Lo que sigue es el tratamiento usual del tema en la bibliografía clásica tradicional, sin que ello implique que sea correcto rigurosamente.

De acuerdo con la suposición históricamente aceptada podemos asumir que en cada instante hay un sistema inercial cuya velocidad relativa coincide con la velocidad del cuerpo o sistema físico, lo que permitirá calcular el tiempo propio como la suma de las variaciones infinitesimales (dt’) en dicho sistema.

Las Transformaciones de Lorentz que hemos deducido oportunamente no son generales puesto que hemos puesto arbitrariamente la velocidad relativa entre sistemas coincidente con el eje x. Dado que esta condición no se cumplirá para un movimiento arbitrario, debemos usar las Transformaciones de Lorentz generales, cuya expresión para la coordenada temporal es:

Teniendo en cuenta que el proceso cuyo tiempo propio estamos midiendo está sobre el objeto en movimiento y que la velocidad del cuerpo corresponderá en cada instante a la velocidad del sistema inercial que le fijemos, será v=V. En consecuencia, diferenciando la expresión anterior llegamos a:

El tiempo elemental dt’ que medirá un reloj fijo al objeto será menor que el correspondiente dt que medimos en nuestro sistema inercial. Integrando obtenemos el tiempo propio mediante:

Es importante destacar que en esta expresión la velocidad corresponde a la del objeto y puede ser función del tiempo dependiendo del movimiento que realice el objeto.
Además, dado que el integrando es siempre menor que 1, el tiempo propio siempre es el menor valor posible, cualquiera sea el movimiento del objeto.

Debe tenerse en cuenta que no podemos comparar las métricas entre sistemas pues solamente requerimos que uno sea inercial, sino que hallamos la expresión general para el cálculo de tiempo propio de un objeto, cualquiera sea su movimiento, a través de mediciones temporales hechas desde el sistema inercial.

Veamos un ejemplo simple:

Un objeto rota alrededor de un observador inercial con movimiento circular uniforme. Se sincronizan dos relojes en t=t’=0, uno (t’) fijo al objeto y el otro (t) en el sistema inercial. Al cabo de una vuelta se comparan los tiempos resultando que el reloj fijo al cuerpo atrasó. El cálculo es simple pues el módulo de la velocidad v es constante.

 

Este atraso (cualitativo) no es relativo al sistema, es absoluto, y ello ocurrirá sobre cualquier reloj acelerado respecto de uno inercial.

Una vez comprendido el concepto (histórico) de tiempo propio y la forma de calcularlo, la maltratada "Paradoja de los gemelos" deja de ser un misterio y puede ser analizada sin dificultad. Recomiendo su análisis aunque advierto que este tratamiento es incompleto pues no considera los efectos temporales debidos a la aceleración.

Nota:
Las correcciones temporales que se programan en el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) para mantener el sincronismo entre satélites dedicados y la Tierra, suelen describirse como efectos debidos al "cambio temporal" de la Relatividad Especial y al "retraso temporal" causado por el campo gravitatorio, predicho por la Teoría General.
En mi opinión esta manera de enfocar el tema esconde el error cometido en este tema dentro de la Teoría de Relatividad Especial, cual es asumir que las aceleraciones no tienen influencia en la marcha de los relojes. 

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