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Complementos de Energía - Los Campos Vectoriales

En el desarrollo de este capítulo haremos uso de herramientas matemáticas propias del análisis vectorial, cuyo conocimiento resulta indispensable para comprender el comportamiento de los campos físicos vectoriales, tales como el electromagnético y el gravitatorio. Si el lector no maneja estas herramientas deberá “creer” las conclusiones pero no debería saltear este ítem.
En el apartado Temas Especiales hay un capítulo extenso sobre las ecuaciones de Maxwell (que son relativistas de nacimiento), que requieren este conocimiento.

Un posible y adecuado tratamiento de los fenómenos se logra cuando disponemos de un modelo matemático consistente con los comportamientos observados.
Para ello es común definir magnitudes asociadas al fenómeno, algunas de las cuales pueden depender de la posición y/o el tiempo, dando lugar a relaciones funcionales o campos matemáticos, de distinta dificultad y naturaleza. Un objetivo concreto de la Física es obtener las leyes que cumplen esos campos, usualmente expresadas con ecuaciones diferenciales, y hallar su solución matemática compatible con la geometría y las condiciones de contorno del problema particular dado.

Estos campos suelen ser escalares, vectoriales o tensoriales, dependiendo ello de la variable considerada y las características del sistema en cuestión.
Por ejemplo, la temperatura de la atmósfera puede ser representada por un campo escalar T(x,y,z,t), el campo eléctrico asociado a un cuerpo cargado se describe con un campo vectorial E(x,y,z,t), y las deformaciones de un sólido deformable sometido a presiones externas pueden ser calculadas por un campo tensorial Dij de segundo orden, con componentes que son funciones del espacio y del tiempo.

En este capítulo trataremos sobre campos escalares y vectoriales, prestando especial atención a estos últimos.
Suele indicarse que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmente establecidas si conocemos su divergencia y su rotor. Tratemos de comprender el significado de esta aseveración.

Divergencia

Recordemos que la divergencia de un campo vectorial es una función escalar que permite relacionar a un campo vectorial con las “fuentes” y “sumideros” del mismo.
Diremos que en todo punto (x,y,z) donde la divergencia da un resultado positivo hay fuente del campo, si da negativo hay sumidero, y si es nulo puede existir el campo pero no “nace“ ni “muere“ en dicho punto.

En general no se conoce el campo A pero sí su divergencia (fuentes y sumideros).
Procediendo de manera inversa podría suponerse que si conocemos las fuentes y sumideros de un campo podríamos determinar unívocamente la forma funcional del mismo mediante la solución de la ecuación diferencial de la divergencia. Ello no es correcto pues quedaría determinado a menos de otra función vectorial cualquiera de divergencia nula.

Podemos señalar algunos aspectos interesantes relacionados con la divergencia.

  • Todo campo de divergencia nula en todo el espacio tiene líneas de corriente (también llamadas líneas de fuerza) cerradas. Tal es el caso del campo magnético B(x,y,z,t).

 

Campo magnético de una corriente filiforme.

  • Todo campo uniforme (constante) en todo el espacio tiene divergencia nula.
  • Es fácil mostrar que el único campo radial con simetría esférica que tiene divergencia nula en todo el espacio (excepto en el origen), varía como 1/r2.

 

Este comportamiento corresponde tanto al campo eléctrico de una carga puntual en el origen como al campo gravitatorio de una masa puntual en el origen, que para cuerpos en reposo en interacciones campo-partícula conducen a la ley de Coulomb y a la ley de Newton de gravitación universal, respectivamente.
En el origen el campo no está definido (singularidad).
Para el caso eléctrico las cargas positivas son las fuentes donde “nace” el campo y las negativas los sumideros donde “muere”, mientras que en el gravitatorio las masas son siempre sumideros (la constante es negativa).

Rotor

El rotor de un campo vectorial da otra función vectorial (pseudovector). Por definición es:

 

Las líneas de corriente del rotor de un campo vectorial son siempre cerradas, lo que significa que su divergencia es nula. Se deja al lector mostrar que la divergencia del rotor de un campo vectorial es siempre nula (sugerencia: use el Teorema de Schwartz de la igualdad de las derivadas cruzadas).

Alguna bibliografía suele destacar como importante utilidad del rotor la relación que dicho cálculo tiene con la descripción de “torbellinos”, en particular cuando se trata de un campo de velocidades de un fluido.
Sin negar que tal relación exista (de ella salió la denominación de rotor) es mi opinión que esta interpretación no es relevante y esconde la importancia conceptual que tiene esta operación.
Cuando el rotor se aplica a un campo físico asociado a interacciones, el aspecto más fundamental del mismo es que su cálculo permite reconocer si dicho campo admite o no una función escalar potencial, tal que su gradiente determina al campo.
En efecto, si en todo punto del espacio se cumple:

 

Cuando el rotor es nulo diremos que el campo es conservativo, caso que trataremos en detalle más adelante en este capítulo.

En general no conocemos ni A(x,y,z,t) ni R(x,y,z,t), pero en algunos casos es posible saber por consideraciones físicas si es conservativo (o no). 
Esto implica disponer de tres ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de primer orden, una para cada componente del rotor, cuya solución no es suficiente para determinar unívocamente el campo vectorial A(x,y,z,t), pues queda determinado a menos de otro campo vectorial de rotor nulo.

Vemos entonces que conocer sólo la divergencia o el rotor de un campo vectorial no es suficiente para hallar dicho campo vectorial. En cambio, puede mostrarse que si conocemos ambos el campo A queda determinado (unicidad de la solución).
Para hallar la ecuación que relaciona al campo vectorial con su divergencia y su rotor usaremos una identidad vectorial.

 

La última relación representa tres ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, de segundo orden, cuya solución formal determina el campo A unívocamente.

Nótese que en el caso en que el campo sea conservativo su rotor es nulo resultando la ecuación de Poisson vectorial (tres ecuaciones). Como veremos, el planteo se simplifica pues existe una función potencial escalar, quedando finalmente una única ecuación de Poisson.

Nota
En física tienen notable importancia aquellos campos que están relacionados con las interacciones entre sistemas y, en consecuencia, tienen relación funcional con los intercambios de energía. Por ello deben ser compatibles con la Teoría de Relatividad Especial y con el Principio de Causalidad, por lo cual ante procesos no estacionarios los campos deben cumplir también con la ecuación de ondas (velocidad finita de propagación).

Campos conservativos

I - Mecánica clásica
Teorema de conservación de la energía mecánica

Se dice que un campo vectorial F es conservativo si se cumple que la circulación de dicho campo a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.

 

Si el campo F es un campo de fuerzas, la expresión anterior equivale a calcular el trabajo W realizado por la fuerza a lo largo del camino cerrado C, resultando nulo cualquiera sea el camino elegido. Como veremos, si el trabajo W es nulo para toda curva cerrada entonces se puede definir la Energía Potencial de una partícula en presencia de dicho campo de fuerzas, y definir la magnitud “Energía Mecánica”, que resulta constante para dicho sistema, siendo esto último el origen de la denominación “conservativo”.

Para que esa integral curvilínea (“circulación de F”) sea nula para cualquier camino C, su integrando debe ser un diferencial exacto (Pfaffiano).

 

Desarrollando el producto escalar y el diferencial total, obtenemos:

 

Resulta evidente que F puede ser puesto como el gradiente de la función escalar , llamada función potencial.

 

Hasta aquí hemos mostrado que si un campo vectorial es conservativo siempre tiene una función potencial tal que su gradiente nos da el campo.

Discutiremos algunos aspectos que no suelen tratarse en la bibliografía técnica.

  1. El primero es respecto de la información que poseen un campo vectorial y uno escalar.
    Un campo vectorial nos da tres (3) datos en cada punto (módulo, dirección y sentido), mientras que un campo escalar sólo da un (1) número. ¿Cómo es posible que el campo escalar tenga toda la información del campo vectorial?
    Si se observa la igualdad resulta claro que la información del campo vectorial está incorporada en la forma de la función escalar y no en su valor en un punto, y que esa información se obtiene a través de las derivadas con la operación gradiente.
  2. El segundo aspecto se refiere a la existencia y al Teorema de unicidad de la función potencial. Si un campo vectorial es conservativo siempre existe una función potencial y es única a menos de una constante arbitraria (que al derivar se anula). En consecuencia, el valor numérico de la función potencial en un punto del espacio no tiene significado físico, pero sí la diferencia de valores de la función potencial entre dos puntos del espacio.
    Si el campo no es conservativo no existe función potencial.

Si ahora calculamos el trabajo W sobre una partícula entre dos puntos cualesquiera (curva C abierta), obtenemos:

 

Recordando que el trabajo W es igual a la variación de la Energía Cinética, quedará:

 

Si ahora definimos Energía Potencial (EP) de una partícula (en presencia de un campo de fuerzas conservativo), a la función potencial del campo cambiada de signo, tenemos . Nótese que la Energía Potencial queda determinada a menos de una constante, pues la función potencial tiene la misma indeterminación. Asimismo, el valor numérico de la Energía Potencial carece de significado físico, pero sí lo tiene la diferencia de valores de la Energía Potencial entre dos puntos del espacio. Reordenando, queda:

Dado que los puntos 1 y 2 son dos puntos cualesquiera del espacio, llegamos a la conclusión que para una partícula en presencia de un campo conservativo, la suma de su energía cinética y su energía potencial es un valor constante.
Se define como Energía Mecánica de una partícula a la suma de su Energía Cinética y su Energía Potencial.

El desarrollo que acabamos de ver es el Teorema de conservación de la Energía, cuyo enunciado dice:

En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la Energía Mecánica es una constante.

Notas importantes:

  1. El valor numérico de la Energía Mecánica carece de significado físico. Se deja al lector que analice esta aseveración. Solamente le indico que la utilidad del Teorema de Conservación de la Energía Mecánica reside en que sea aplicado en dos puntos separados.
  2. Asimismo, muestre que la Energía Potencial no puede depender del tiempo.
    No obstante, es común encontrar en la bibliografía expresiones sobre la función potencial dependiente del tiempo para sistemas no conservativos (reales). Ello es correcto y no se refiere al tema visto en este capítulo. Será tratado en el apartado que se agregará sobre Ecuaciones de Maxwell. 
  3. Los campos físicos de los procesos reales no son conservativos. Si bien esto es una especulación, el conocimiento actual lo confirma. El tema se tratará en la carpeta de Temas Especiales, analizando las condiciones que debe cumplir un campo físico vectorial para ser relativista.
  4. Para saber si un campo vectorial es conservativo basta con calcular su rotor.

    Veamos cómo se vincula el rotor de un campo con que sea conservativo.
    Con el Teorema de Stokes, que relaciona la circulación de un campo vectorial con el flujo del rotor de dicho campo a través de cualquier superficie que tenga por borde a la curva C, se puede demostrar que la circulación de un campo vectorial (en una curva cerrada) es nula si el campo tiene rotor nulo en todo el espacio. Matemáticamente es:

     

    Si el rotor es nulo en todo el espacio, el campo es conservativo. 

II - Mecánica relativista

Se puede demostrar que las propiedades de un campo vectorial quedan totalmente determinadas si se conocen su divergencia y su rotor. La divergencia es una operación que relaciona al campo con las “fuentes y sumideros” del mismo. Hemos visto que el rotor nos dice si el campo es conservativo o no.

Ahora mostraremos que la condición de un campo de ser conservativo no es una ley relativista, es decir que es una característica solamente válida en un dado sistema de referencia (lo mismo sucede en el caso no relativista).
Para ello analicemos el siguiente ejemplo:

Sea un sistema formado por una carga puntual en reposo en el origen de coordenadas de un sistema inercial.
El campo eléctrico correspondiente es conservativo, con rotor nulo en todo el espacio, excepto en el origen donde no está definido. Su función potencial es fácilmente calculable y no depende del tiempo.

Otro observador inercial O’ en movimiento relativo verá una carga puntal moviéndose con velocidad constante. En cada punto del sistema primado tendremos un campo eléctrico y un campo magnético, ambos dependientes del tiempo, que cumplen con las ecuaciones de Maxwell. Matemáticamente describiremos esta situación en ambos sistemas de referencia:

 

Es evidente que en el sistema primado el campo no es conservativo pues su rotor no se anula.

Teorema de conservación de la energía (caso relativista)
Hemos mostrado en forma general que si un campo de fuerzas tiene rotor nulo, entonces es conservativo y existe la función energía potencial. En este caso se cumple:

 

Siendo F la fuerza sobre una partícula y EP la energía potencial.
También demostramos (en un apartado anterior) que dw = F.ds = c2dm, y lo interpretamos como la variación infinitesimal de la energía cinética de una partícula. Vinculando las relaciones obtenemos:

 

Integrando esta expresión para dos puntos del espacio, quedará:

 

La última igualdad es la expresión matemática del Teorema de conservación de la energía, cuyo enunciado es:

En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la suma de la energía total (mc2) y la energía potencial es una constante.

Nótese que para el caso de una partícula cuya masa en reposo es un invariante, si restamos la constante m0 c2 en ambos miembros, el Teorema sigue siendo válido. En este caso el enunciado es el mismo que en Mecánica clásica (no relativista):

En todo sistema inercial aislado, si las fuerzas son conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial es una constante.

En mi conocimiento, este importante Teorema extrañamente no figura en la bibliografía específica, aunque es utilizado con mucha frecuencia.

Veamos un ejemplo (Cullwick – “Electromagnetism and Relativity”, pág. 79):

Un electrón inicialmente en reposo es acelerado por un campo electrostático, sin irradiar. Se pide la variación de la masa del electrón luego de ser acelerado por una diferencia de potencial. Las características del problema son:

  • El campo electrostático es conservativo.
  • El campo eléctrico E está dado por 
  • La fuerza es . Como q < 0 (electrón) el movimiento será hacia donde crece el potencial.
  • La energía potencial está dada por la relación  , siendo V(x,y,z) la función potencial del campo eléctrico y C1 una constante arbitraria.

Aplicando el Teorema de conservación de la energía obtenemos:

 

Asumiendo que en el punto 1 estaba en reposo y despejando, se obtiene:

 

Su velocidad puede hallarse de la expresión de masa relativista

 

Se deja planteado como ejercicio demostrar que el trabajo eléctrico es igual a la variación de energía cinética del electrón.

Campos no conservativos

Un campo de fuerzas no es conservativo si su rotor es distinto de cero, lo que es equivalente a decir que la energía del sistema no permanecerá constante si el móvil realiza cualquier trayectoria cerrada. En efecto, si el rotor no es nulo, aplicando el Teorema de Stokes tenemos:

 

En este caso no vale el Teorema de conservación de la energía ni existe Energía Potencial del sistema.

La experiencia nos muestra que muchas veces son reconocibles los mecanismos que causan que un campo de fuerzas no sea conservativo. Entre ellos se distinguen los siguientes tres procesos que provocan pérdidas irreversibles de energía del sistema: rozamiento, deformación plástica y/o radiación térmica.
En estos casos es posible asumir que el campo de fuerzas puede ser expresado como la suma de uno conservativo y otro no conservativo, quedando

 

Corresponde señalar que la energía disipada en general no es calculable mediante la integral curvilínea (circulación) de una función analítica, tal como fue indicada en la expresión anterior.

Cuando las fuerzas presentes no son conservativas el Teorema de conservación de la energía no es aplicable.
No obstante, por razones empíricas se acepta que la energía total de un sistema, incluyendo la energía disipada, permanece constante.
Esta afirmación, no demostrable teóricamente, constituye el Principio de conservación de la energía.

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