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Cinemática relativista. Efecto Doppler

La cinemática relativista no presenta gran dificultad en la parte operativa debido a que los cálculos son similares a los que se realizan en cinemática clásica. Si un dado problema de movimiento de un cuerpo es complicado en el modelo relativista, también lo es en la mecánica newtoniana.

No sucede lo mismo desde el punto de vista conceptual cuando se pretende comparar  un determinado movimiento de un cuerpo desde dos sistemas de referencia inerciales en movimiento relativo. La razón de que ello ocurra es que en cinemática relativista la velocidad de la luz es un valor finito.

La primera gran dificultad está con la posición de un punto material que se desplaza respecto de un observador inercial. Lo “vemos” en un punto del espacio pero sabemos que está en otro, debido al tiempo que tardó en llegarnos la información. Es decir que tenemos dos panoramas posibles: el “aparente”, que es el que vemos, y el que llaman “real”, que sería el que corresponde a la supuesta posición calculada, teniendo en cuenta el tiempo que tarda en llegarnos la información. En realidad el que conocemos con certeza es el aparente, que es el que medimos.

La mayoría de los cálculos se hacen con las posiciones que denominamos reales, en razón de que las Transformaciones de Lorentz relacionan la métrica espacio temporal de dos sistemas inerciales sin contemplar lo que mediría un observador que no tuvo en cuenta las correcciones relacionadas con la velocidad de la luz.
Este hecho parece resolver la cuestión estableciendo un criterio para la descripción de los movimientos, haciendo referencia siempre a posiciones reales.
Sin embargo, veremos que ello resulta inadecuado en determinados casos.

En la dinámica relativista las interacciones entre cuerpos materiales ocurren a través de campos cuya descripción corresponde a la posición aparente de los cuerpos y no a las posiciones reales, debido a que los campos se propagan también a velocidad finita, que asumimos idéntica a la de la luz. En consecuencia, si suponemos conocidas las posiciones reales, debemos calcular las aparentes para obtener el resultado correcto.

En electromagnetismo las interacciones entre partículas cargadas en movimiento se calculan utilizando los “potenciales retardados”, que son funciones relacionadas con el campo que corresponde a las posiciones aparentes, resolviendo el planteo anterior, y ello podemos hacerlo porque disponemos de las ecuaciones de Maxwell.

En los otros tipos de interacciones (fuerzas gravitatorias y nucleares), no tenemos las ecuaciones de campo válidas en sistemas inerciales, simplemente porque no hemos logrado desarrollar aún un modelo teórico adecuado, por lo cual ni siquiera sabemos si es posible obtener la expresión teórica de los potenciales retardados correspondientes.
En particular, los problemas que presentan interacciones gravitatorias suelen tratarse con la Ley de Newton en el marco de la Relatividad General, aunque en rigor dicha ley es válida solamente para cuerpos en reposo.

Otro aspecto complicado, que extrañamente la bibliografía usual no trata, se refiere a la posición real de un objeto en movimiento respecto de dos sistemas inerciales. Analicemos un caso particular:

Dos observadores inerciales O y O’ están en movimiento relativo. Supongamos que sus sistemas de referencia están alineados y sus orígenes de coordenadas espaciales coinciden en el instante t=t’=0. Cada observador tiene sincronizado su sistema, lo que significa que en un instante cualquiera su coordenada temporal tiene el mismo valor en todo el espacio, pero ambos observan que en el otro sistema de referencia el tiempo indicado por el otro observador tiene valores distintos en diferentes puntos del espacio, es decir que no está sincronizado.

Asumamos arbitrariamente que O está en reposo y O’ en movimiento uniforme según el eje x, con velocidad V respecto de O, y que tenemos un cuerpo que se mueve con velocidad v respecto de O, según muestra la figura. Sea x0 la coordenada x del cuerpo en el instante t=0.

 


Se pretende saber cuál es la posición x’ del objeto para O’ en el instante t’=0.
Usando las Transformaciones de Lorentz obtenemos lo que mediría O’:

 

Nótese que la posición del objeto en nuestro caso está determinada para t’0 < 0, es decir que O’ no obtiene la posición del objeto (x’0) cuando ambos sistemas están coincidentes en el espacio, sino un rato antes (t’0) de que O’ se cruce con O.
En consecuencia, para determinar la posición que ambos observadores le miden a un objeto en movimiento en el instante t=t’=0, en que ambos sistemas son coincidentes, debemos conocer el movimiento completo en alguno de los dos sistemas, es decir su trayectoria y tipo de movimiento, que nos permita calcular dónde estará en el otro.

Veamos un caso simple.

Si el objeto se mueve con velocidad v constante podemos hacer el cálculo de cuánto avanzaría respecto de O’ hasta que los sistemas coincidan, y así obtener la posición x’t’=0 que le mediría O’ en t’=0, resultando:

 

Siendo v’ la velocidad del objeto medida por O’, cuyo cálculo se mostrará luego con el teorema de adición de velocidades.
En el segundo miembro de la igualdad, el último término representa lo que avanzó el objeto. Esta expresión puede ponerse de la siguiente forma:

 

Si el cuerpo está en reposo respecto de O, la velocidad v’ medida por O’ será -V, y la coordenada x’0 valdrá:

 

Este resultado muestra el efecto de la contracción de longitudes ya visto.

De éste análisis obtenemos una consecuencia muy importante para el estudio de los sistemas de muchos cuerpos no estacionarios, como por ejemplo el Universo.
Supongamos que en un sistema inercial queremos obtener la configuración dinámica de un determinado conjunto de cuerpos puntuales en movimiento. Para ello debemos conocer simultáneamente la posición y la velocidad de cada uno de los puntos materiales.
Si ahora deseamos saber qué configuración se obtendría en otro sistema inercial en movimiento relativo, deberemos hacer correcciones que contemplen le pérdida de sincronismo entre sistemas.

Nota: En el apartado de Temas Especiales se adjunta un desarrollo original (no publicado) que demuestra que la expansión del Universo es absoluta, es decir que en todos los sistemas inerciales las galaxias se alejan de un punto (centro), y en todos ellos se cumple la forma de la Ley de Hubble (velocidad proporcional a la distancia).

Teorema de adición de velocidades

Dado un cuerpo que se mueve con velocidad v respecto de un sistema inercial O, se pretende determinar qué velocidad le mide otro observador O’ en movimiento relativo uniforme. En la figura, por razones didácticas, se indica solamente la componente en la dirección x.

Usando las Transformaciones de Lorentz podemos calcular las velocidades medidas por un observador O’.

 

Se destacan las siguientes particularidades:

 1 – Para velocidades del objeto (v) y del sistema (V) mucho menores que c se obtienen las relaciones de Galileo.

 2 – Las velocidades transversales (vy; vz) dependen de la velocidad según x.

 3 – Si el objeto fuera luz en el vacío, los dos sistemas medirían lo mismo (c).

El cálculo de las aceleraciones se deja planteado como ejercicio, destacando que se obtienen con el mismo procedimiento empleado y que la aceleración no resulta una magnitud absoluta (como sucede en la mecánica clásica).

Efecto Doppler

La frecuencia de una onda emitida por una fuente resulta diferente si dicha fuente está en reposo o en movimiento relativo al observador, aumenta cuando la fuente se acerca y disminuye cuando se aleja.
El fenómeno fue descrito y explicado teóricamente en forma clásica (no relativista) por el físico y matemático austríaco Christian Doppler (1803-1853) en el año 1842, en una monografía sobre espectroscopía en estrellas binarias.

La ley original obtenida relaciona la frecuencia de una onda luminosa con la velocidad relativa entre el observador y la fuente de las ondas, y no es consistente con la teoría de relatividad (desarrollada posteriormente) pues se fundamenta en las Transformaciones de Galileo. La formulación relativista rigurosa del fenómeno fue elaborada por Einstein en su principal publicación de 1905.

El efecto es de naturaleza ondulatoria y su estudio aparentemente resulta complejo en virtud de que intervienen tres actores: la fuente de ondas, la onda que se propaga y el observador. Sin embargo, veremos que el fenómeno puede ser explicado como un efecto relativista sobre la propagación ondulatoria.

Por razones prácticas, en general sólo nos interesará el punto de vista del observador, es decir la frecuencia que un observador inercial le mide a una onda emitida por una fuente móvil, y su relación con la frecuencia propia y velocidad instantánea de dicha fuente.

Los procesos ondulatorios fueron convenientemente explicados por el matemático francés D’Alembert (1717-1783), cuyos aportes en el planteo y solución de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales le permitieron elaborar la teoría matemática de las ondas en 1747, estableciendo su famosa “ecuación de ondas”: 

 

Toda solución Ф(x,y,z,t) de esta ecuación es una onda cuya velocidad de propagación es v. Asimismo, si una función no satisface esta ecuación no puede ser asignada a un fenómeno ondulatorio. La solución más simple posible, conocida como “onda armónica simple”, que se propaga en el sentido positivo de las x, corresponde a la expresión:

 

Al respecto, aunque en este curso se asume que el lector conoce la teoría de ondas, es conveniente recordar algunas particularidades:

  • x (dirección de propagación) es un punto del espacio y t un instante de tiempo.
  • Al argumento (kx-w t) se lo denomina fase y debe ser un número adimensional, es decir sin unidades.
    En consecuencia, k (número de onda) tiene unidades de 1/longitud y w (frecuencia angular) de 1/tiempo.
  • El sentido de propagación queda determinado por el signo de los 2 términos de la fase. Si son distintos la onda se propaga en el sentido creciente de x; si son iguales será en sentido opuesto.
  • La función verifica la ecuación de ondas si se cumple v=w/k.
  • A es la amplitud máxima de la onda. Sus unidades quedarán determinadas por el tipo de onda que se trate. Por ejemplo, si es una onda sonora, A podrá tener unidades de presión.
  • En ambos sistemas inerciales la onda tiene la misma forma funcional pues la ecuación de ondas es relativista.
    Se deja planteado demostrar que dicha ecuación conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz.

Primero mostraremos que la frecuencia de una onda, cualquiera sea su naturaleza, es una magnitud relativa al sistema de referencia.
Supongamos tener dos observadores inerciales en movimiento relativo, como muestra la figura, que miden la frecuencia y la velocidad de una onda armónica simple que se propaga de izquierda a derecha en la dirección del eje x.


Aplicando las Transformaciones de Lorentz podemos encontrar la correspondiente expresión en el sistema primado:

 

En el sistema en movimiento se cumple:  

Comparando con la relación anterior se obtiene:

Para evitar confusiones llamaremos vP a la velocidad de propagación.
Reemplazando k = w / vP  obtenemos la relación buscada:

Si se trata de ondas luminosas en el vacío la velocidad de propagación es la misma en ambos sistemas de referencia pues la luz se propaga con la misma velocidad c en todos los sistemas inerciales. En este caso tenemos:

 

Fácilmente puede verse que w’ < w si el sistema primado se mueve en la dirección de propagación, y w’ > w si es en sentido contrario (V<0).
Este resultado muestra que la frecuencia de una onda es una magnitud relativa al observador, y ello es independiente del movimiento de la fuente de ondas.

En rigor, la frecuencia de cualquier sistema o proceso físico periódico resulta ser una magnitud relativa al sistema de referencia en el que se mide. Dos observadores con distinto estado de movimiento medirán distinta frecuencia de un mismo proceso periódico.

Por supuesto que si la fuente se encuentra en reposo en uno de los dos sistemas de referencia, el observador en dicho sistema medirá la misma frecuencia de la onda y de la fuente (frecuencia propia), mientras que el observador en movimiento medirá distintas frecuencias no coincidentes, tanto de la fuente en movimiento como de la onda. La conclusión global será que la frecuencia de una onda aumenta si la fuente se mueve hacia el observador, disminuye si se aleja, y en estos casos no coincide con la frecuencia de la fuente en movimiento.

Finalmente, siendo w0 la frecuencia propia y (Vf ) la velocidad de la fuente de ondas, que arbitrariamente definimos positiva si la fuente se aleja al observador y negativa si se acerca, la relación funcional entre la frecuencia medida (w) y la velocidad de la fuente (Vf ), estará dada por:

Esto último parece estar en contradicción con el hecho aceptado por el cual la frecuencia de una onda debe ser la misma que la de la fuente que la produce, cosa que solo sucede para un observador en reposo respecto de la fuente periódica.

La explicación de esta aparente contradicción es sutil pero simple. Nótese que la forma en que se miden las frecuencias de la fuente y de la onda es diferente: la correspondiente a la onda se mide en un punto fijo (reposo) respecto del observador, mientras que la de la fuente se mide en movimiento.

La frecuencia de un sistema periódico, medida por un observador en movimiento relativo, se modifica de acuerdo a la ley de “dilatación temporal”:

 

Siendo T0 el período propio del sistema periódico y T el “pseudo” período que le mide el observador inercial al sistema periódico en movimiento, que resulta siempre mayor que el período propio e independiente del sentido de la velocidad del sistema físico.

Por otro lado, una onda es un proceso espacio temporal y su frecuencia se determina como la inversa del tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por un punto fijo respecto del observador.

Efecto Doppler Transversal

Se denomina así al cambio de frecuencia de una onda que ocurre cuando la fuente de ondas se mueve en dirección transversal a la recta que une la fuente y el observador.
Este efecto, predicho por Einstein, fue detectado experimentalmente en 1938.

La explicación relativista es muy simple: la fuente que se mueve transversalmente está sujeta a la “dilatación temporal”, por lo cual su frecuencia se modifica de acuerdo a la última relación vista y coincide con la frecuencia de la onda medida debido a que la fuente no se aleja ni se acerca del observador:

 

Siendo w0 la frecuencia propia de la fuente, w la frecuencia (de la onda y de la fuente) medida por el observador, y V la velocidad transversal de la fuente. Nótese que el efecto Doppler transversal siempre da corrimiento al rojo (w < w0).

Este planteo último y el tratamiento anterior pueden inducir al error de creer que el efecto Doppler tangencial y transversal son dos fenómenos distintos, cuando en realidad se trata de un único efecto: el cambio de frecuencia de una onda debido al movimiento relativo entre la fuente y el observador.

En el planteo inicial por razones didácticas se propuso arbitrariamente que la onda se propagaba según el eje x, para luego tratar en forma independiente el caso de una fuente con movimiento transversal.

Si hubiéramos analizado los cambios que se producirían sobre una onda cuando la fuente se mueve en cualquier dirección, obtendríamos una única relación general válida para el Doppler transversal y longitudinal respectivamente. Esto lo haremos a continuación. 

Tratamiento general del efecto Doppler luminoso (enfoque ondulatorio)

Nos interesa determinar la frecuencia medida por un observador inercial de una onda emitida por una fuente móvil con velocidad vs, en relación a la frecuencia propia de la fuente (en reposo).

Supongamos tener una fuente de ondas monocromática en reposo en un sistema inercial y un observador O en el punto A, como muestra la figura.


 

El observador medirá la misma frecuencia a la onda y a la fuente (w0).
Para evitar confusiones llamaremos ux y uy a las componentes de la velocidad (c) de propagación de la onda.
A los efectos de estudiar solamente el cambio de frecuencia que medirá un observador O’ en movimiento respecto de O, la onda (con simetría esférica) que llega al punto A puede ser considerada una onda escalar plana (fuente alejada). La dirección de propagación queda determinada por los cosenos directores del vector velocidad de propagación (c). La expresión matemática es de la forma:

 

Para un observador O’ con velocidad V respecto de O, la fuente de ondas se mueve con vS = -V, formando un ángulo con la dirección de propagación. Podemos calcular la función de la onda para O’ aplicando las Transformaciones de Lorentz

 


En el sistema primado la función de onda tendrá la misma forma matemática, aunque sus parámetros pueden tomar valores distintos que en el sistema O.

Ahora podemos dar la expresión general del efecto Doppler (tangencial y transversal) y una regla para evitar posibles errores de signos.
Si establecemos arbitrariamente que la velocidad de la fuente VS sea positiva si se aleja del observador y negativa si se acerca, y el coseno del ángulo lo tomamos siempre positivo, la frecuencia que éste le mide está dada por:

 

Dado que , siendo e el versor con la dirección y sentido de propagación de la luz, la relación anterior puede expresarse (Möller, "The Theory of Relativity", pág 62):  

Nota:
Este efecto también puede ser tratado desde el punto de vista corpuscular, considerando a la luz formada por fotones con cantidad de movimiento y energía. En este caso se puede realizar el mismo tipo de análisis anterior y determinar cómo se modifica la energía del fotón, llegando al mismo resultado final del efecto Doppler.
Se propone al lector que haga el cálculo utilizando las transformaciones de Lorentz de la cantidad de movimiento y la energía (E/c), que tienen la misma forma que las del espacio y el tiempo respectivamente.


 

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