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Cantidad de movimiento

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante su definición como el producto de la masa de un cuerpo material por su velocidad, para luego analizar su  relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento.
No obstante, luego del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones.
Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

Para abordar el tema con un enfoque más moderno primero se deben analizar las interacciones en sus diferentes manifestaciones de acuerdo a los modelos clásicos convencionales:

  • La primera, que resulta clásica en mecánica racional, es considerar el choque entre cuerpos materiales, aceptando implícitamente que entre ellos no hay fuerzas atractivas o repulsivas, siendo fortuito el encuentro. Aquí aparece la cuestión sobre choque elástico perfecto y choque plástico con pérdida de energía.
  • El siguiente tipo, campo-partícula sin pérdida de energía (choque elástico), resulta de considerar que cada partícula posee un campo asociado capaz de interactuar con la otra, modificando sus trayectorias, velocidades y energías. Un ejemplo típico es el estudio de fuerzas centrales en mecánica analítica.
    En este modelo se considera que los campos actúan instantáneamente, es decir a velocidad infinita, perdiendo su significado como ente físico real, para ser un formalismo auxiliar que simplifica su análisis. En esta categoría están la Ley de Coulomb y la Ley de gravitación universal de Newton.
  • El caso de interacción campo-partícula con pérdida de energía resulta más complejo pues aparece un tercer participante, un fotón con la energía disipada.
    Un ejemplo importante e ilustrativo que permite explicar el espectro continuo de emisión de rayos x, es el estudio de la radiación de frenado que ocurre con electrones rápidos obligados a cambiar bruscamente de dirección por acción del campo eléctrico de un  núcleo atómico, con pérdida de energía por emisión de radiación (fotón de radiación x).
  • La interacción radiación-materia es el caso más ilustrativo de la limitación de la definición usual de la cantidad de movimiento (p=mv). El efecto Compton, que ocurre entre fotones de rayos x o rayos gamma con electrones cuasi libres, es explicado convenientemente si el fotón posee una cantidad de movimiento cuyo módulo está dado por:
                     p=, siendo h la constante de Planck y v la frecuencia.
    El fotón y la partícula material modifican sus trayectorias, cantidades de movimiento y energías como resultado de una interacción.

Los cuatro casos descriptos tienen en común la transferencia de energía durante la interacción y/o cambios de dirección del movimiento. A los efectos de poder predecir las consecuencias de una interacción de acuerdo a lo mostrado por la experiencia, es necesario hacer extensivo el concepto de cantidad de movimiento a todos los entes físicos capaces de transferir energía, siendo una magnitud vectorial con dirección y sentido de la velocidad de la partícula y cuyo comportamiento responde a leyes de conservación.

Esta magnitud, que nos permitirá calcular el estado final de los participantes luego de una interacción, resulta ser:

  1. Para partículas masivas p=mv
  2. Para fotones en el vacío p=9c

Las leyes de conservación postuladas como Principios, necesarias para el análisis de las interacciones entre partículas en un sistema aislado (sin fuerzas exteriores), sean partículas masivas o no, son:

  1. El Principio de conservación de la energía
  2. El Principio de conservación de la cantidad de movimiento
  3. El Principio de conservación del momento angular 

La gran matemática Emmy Noether (1882-1935) demostró en 1915 que estos Principios son propiedades de leyes de simetría del espacio y el tiempo. Una demostración de estos "Principios" en el marco de la mecánica analítica puede verse en el libro 1 de Landau-Lifshitz "Curso abreviado de Física Teórica". Se demuestra que:

  1. La conservación de la energía sale de la uniformidad del tiempo.
  2. La conservación de la cantidad de movimiento es consecuencia de la homogeneidad del espacio.
  3. La conservación del momento angular resulta de la isotropía del espacio.

Vamos a dedicarle atención al de la conservación de la cantidad de movimiento.
En el apartado que sigue incorporo una demostración propia, válida para sistemas inerciales en el marco de la mecánica newtoniana.

Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista).

La isotropía y la homogeneidad espacial requieren que las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales sean lineales.
La uniformidad del tiempo y la suposición de que su evolución es la misma en todos los sistemas inerciales hace que la coordenada temporal sea absoluta.

Estas propiedades del espacio y el tiempo permiten deducir fácilmente las Transformaciones de Galileo. Veamos su desarrollo:

Sean dos sistemas inerciales O y O’ en movimiento relativo con velocidad V según el eje x, coincidentes en el instante t=0.

Las transformaciones lineales son

x’ = a1 x + a2 t           y’ = y            z’ = z

Consideremos un objeto en reposo en O en la coordenada x. Para cualquier observador de O’ el objeto se mueve con velocidad v’x’ = - V
Derivando obtenemos:

v’x’ = - V = a1 vx + a2 = a2           a2 = -V

Consideremos ahora un objeto con velocidad V en O. Para el observador O’ el objeto está en reposo respecto de él.
Derivando obtenemos:

v’x’ = 0 = a1 vx + a2 = a1 V – V           a1 = 1

Reemplazando resultan las Transformaciones de Galileo

x’ = x - V t        y’ = y        z’ = z

Mostraremos ahora que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se obtiene como consecuencia de las Transformaciones de Galileo.

Estas transformaciones tienen una propiedad muy interesante: la diferencia de dos velocidades cualesquiera, sean de un objeto o de cuerpos diferentes y en el mismo instante o en instantes distintos, es la misma para todo observador inercial, es decir que es absoluta. Ello se debe a que las velocidades medidas por dos observadores inerciales están relacionadas por:

v’x’ = vx – V         v’y’ = vy         v’z’ = vz

Nótese que cuando se calcula la diferencia entre dos velocidades se simplifica la velocidad V, con lo cual se hace independiente de la velocidad relativa entre sistemas.

Ahora analicemos el caso de una interacción entre dos cuerpos.
Consideremos dos partículas (1 y 2) que interactúan. Midiendo su velocidad antes (a) y después (d) de la interacción podemos plantear las siguientes relaciones absolutas, válidas para las tres componentes:

v1d – v1a = cte = k1           v2a – v2d = cte = k2

Si las partículas son masivas, con masas m1 y m2 respectivamente, puede determinarse la relación k1 / k2 en concordancia con la definición de masa relativa de Mach (1838-1916).
Se define como masa inercial relativa entre dos partículas que interactúan, a la relación de los módulos de las aceleraciones medias sufridas en la interacción.

m21 = m2 / m1 = a1 / a2

Siendo la aceleración media la diferencia de velocidades dividida el tiempo de interacción, que es el mismo para ambas partículas, resulta:

m21 = m2 / m1 = a1 / a2 = Δv1 / Δv2 = k1 / k2

En consecuencia, reemplazando obtenemos el Principio de conservación de la cantidad de movimiento.

m1 v1a + m2 v2a = m1 v1d + m2 v2d

Nota: 
Un aspecto interesante es que la demostración es aplicable a todo tipo de partículas, incluyendo aquellas cuya masa propia sea nula (fotones). Sin embargo, si consideramos válida la definición de masa dada por Mach, toda partícula con la capacidad de interactuar tiene masa asociada. Este hecho genera un nuevo dilema, pues en el caso de fotones se acepta que no son masivos (masa propia nula). Más adelante, en dinámica relativista, veremos que este tema admite distintos tratamientos y es actualmente un motivo de discusión. 

Conservación de la cantidad de movimiento en Relatividad Especial.
Masa relativista.

El Principio de Relatividad establece que las leyes válidas de la física deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz, esto es que conserven su forma en todo sistema inercial.

Las leyes describen comportamientos mediante ecuaciones que relacionan magnitudes, las cuales pueden tomar valores distintos respecto de diferentes sistemas, es decir ser relativas al sistema de referencia.
En consecuencia, el Principio de Relatividad nos brinda una herramienta muy importante para la formulación y/o verificación de leyes.

El procedimiento es el siguiente: definidas las magnitudes involucradas en una ley clásica, válida en un sistema inercial, se aplican las transformaciones de Lorentz y se determina cómo deben modificarse dichas magnitudes para que la ley conserve su forma. Luego, usando el Principio de Correspondencia, se verifica que la ley relativista se transforme en la clásica para c tendiendo a infinito.
Finalmente, se analiza la conveniencia que dicha formulación tiene frente a otras opciones posibles.

Puede suceder que existan diferentes opciones para obtener una dada ley. De hecho ese fue el caso cuando se intentó establecer le ley fundamental de la mecánica relativista. Einstein utilizó inicialmente la Ley de Newton expresada mediante F=ma.
La forma en que se transforman la Fuerza y la aceleración cuando se pasa de uno a otro sistema de referencia es diferente, y esa diferencia es distinta según se trate de las componentes paralelas a la velocidad relativa entre sistemas o transversales a ella. En consecuencia, si se pretende que la ley de Newton así expresada (F=ma) sea relativista, la masa debe tomar valores distintos según sea una dirección paralela a su velocidad o transversal a ella.
Esta  pérdida de isotropía de la masa no resultó “atractiva” conceptualmente, y se resolvió proponiendo F=dp/dt como ley de la mecánica, pues esta forma de expresar la Ley de Newton conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz, sin que la masa pierda su isotropía.  

Si aceptamos como definición de cantidad de movimiento p=mv, siendo m la masa, debemos determinar cómo se modifican las magnitudes involucradas para que la ley de conservación de la cantidad de movimiento sea válida en todos los sistemas de referencia inerciales.

La modificación de las velocidades ya fue resuelta con el teorema de adición de velocidades, por lo cual nos queda por determinar cómo debería modificarse la masa para que la Ley tenga la misma forma en todos los sistemas inerciales.   

Existen diversas maneras de encarar el tema. La mayoría (sino todos) de los enfoques existentes en la extensa bibliografía sobre Relatividad Especial lo analizan mediante choque entre dos partículas, ya sea elástico con cambio de dirección o inelástico. Al respecto, desarrollé una demostración que se distingue por su simpleza y porque no requiere choque entre partículas. Veamos su desarrollo:

Dos partículas idénticas se mueven según muestra el esquema. Por isotropía espacial sus masas deben ser iguales.

En estas condiciones el centro de masa del sistema permanece en reposo y su cantidad de movimiento es nula. Al sistema de referencia en el cual el centro de masa está en reposo se lo denomina Sistema de centro de masa (o inercia).
Dado que es un planteo unidimensional (x;x’) no indicaremos los subíndices de los ejes.

Para otro observador que se mueva con velocidad V = v, la partícula 1 está en reposo y el centro de masa posee una velocidad v’CM = -v. A este sistema de referencia en el cual una partícula está en reposo se lo denomina Sistema de Laboratorio.
La cantidad de movimiento en el Sistema de Laboratorio es:

 

Siendo m’ la masa de la partícula 2, con velocidad v’2 y m0 la masa de la partícula 1, en reposo. Aquí la condición de simetría no corresponde pues las partículas tienen distinto estado de movimiento.
Despejando obtenemos:

 

Aplicando las transformaciones de las velocidades podemos calcular v’2

 

Resolviendo esta ecuación algebraica podemos hallar v’CM en función de v’2. Por tratarse de una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones, pero una sola con significado físico (pues v'CM < v'2 ). Con la condición de que el módulo de la velocidad del centro de masa debe ser menor que el de la velocidad de la partícula 2, obtenemos:

Reemplazando en la expresión de la masa y operando obtenemos:

 

Siendo m0 la masa de la partícula 1, en reposo, y m’ la masa de la partícula 2 en movimiento.
Dado que las partículas son idénticas en reposo, podemos generalizar la expresión anterior y aplicarla para una partícula en movimiento.
Esta masa variable con la velocidad, junto al Principio de Equivalencia entre masa y energía, dieron lugar a la definición de masa relativista. Volveremos a tratar el tema luego del estudio sobre energía relativista.

Es muy importante destacar dos cosas:

  1. En la expresión anterior no aparece explícitamente la velocidad relativa entre sistemas de referencia.
    La masa relativista expresa el valor de la masa en función de la velocidad que posee respecto de cada observador inercial. La inercia de un cuerpo material es relativa al observador y depende de su velocidad.
  2. Hemos supuesto que la masa propia de la partícula m0 es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial. Ello no es arbitrario pues si así no fuera los sistemas inerciales no serían equivalentes ya que habría una forma de distinguirlos.

Operando la última expresión y usando la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv), obtenemos:

 

Siendo m la masa relativista y m0 la masa en reposo que, rigurosamente, debería llamarse masa propia.

La formulación de la Relatividad en un espacio de 4 dimensiones (Minkowski, 1864-1909) dio lugar, en los últimos 20 años, a que especialistas reconocidos tuvieran extensas, caprichosas e innecesarias discusiones, sobre la conveniencia o no de utilizar la masa relativista.
En el caso en que se quiera evitar el uso de masa relativista debe redefinirse la cantidad de movimiento (ver la expresión siguiente).

Finalmente llegamos a la conclusión que la cantidad de movimiento es válida en el marco de la Relatividad Especial si en cualquier sistema de referencia inercial queda determinada por la relación:  

Siendo m0 la masa en reposo y v la velocidad de la partícula en dicho sistema.

Esta definición de cantidad de movimiento es compatible con p=mv sólo si aceptamos que la masa varía con la velocidad. Por ello resulta conveniente, cuando se traten relaciones o leyes que involucren a la masa, indicar a la masa en reposo con el subíndice 0.

En este Curso utilizaremos m en el sentido de masa relativista y m0 para la masa en reposo, manteniendo la definición “newtoniana” de la cantidad de movimiento.

Luego de este análisis es fácil mostrar para una interacción entre dos partículas en un sistema aislado, que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales.

Nota:
De acuerdo con la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv) debemos aceptar que esta Ley de conservación resulta válida si aceptamos que la masa de un cuerpo depende de su velocidad (más rigurosamente de su contenido energético).
El concepto de masa establecido por la mecánica clásica es que su valor es una medida de su inercia, es decir la tendencia a conservar su velocidad. Aceptar que la inercia de un cuerpo material aumenta con la velocidad, hecho que fue confirmado experimentalmente, tiene otras implicancias muy profundas.
Tal vez la más importante sea su relación con la masa gravitatoria.
El estudio de caída libre relativista da resultados diferentes si el campo gravitatorio se aplica sobre la masa relativista (caso correcto) o sobre la masa en reposo.

En la carpeta Temas Especiales se trata la “Caída libre relativista”, con ambos tratamientos. 

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