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Problemas de Relatividad Especial

Si no se indica lo contrario, asuma que todos los sistemas de referencia son inerciales

(Nota: Se están incorporando las respuestas y algunas soluciones completas).

1. ¿Cuál ha de ser la velocidad relativa de dos observadores inerciales para que sus medidas de intervalos de tiempo difieran en 1%
            (Respuesta:      V=0.99995 c). Solución

2. El período propio de vida de un mesón pi es de 2.6x10-8 seg. Si un haz de estas partículas tiene una velocidad de 0.9 c, indicar:
        a. ¿Cuál es el período de vida de esos mesones con respecto al laboratorio? 
            (Rta.:    5.96x10-8 seg)
        b. ¿Qué distancia recorren en el laboratorio antes de desintegrarse?
             (Rta.:    16.1 m

3. En el caso de los mesones pi considerados en el ejercicio anterior, indicar qué distancia habrá recorrido el laboratorio en el sistemas de referencia de los mesones. 
             (Rta.:    7.02 m)

4. ¿Cuántas veces aumentará la vida de una partícula inestable (para un observador en reposo), si se mueve a una velocidad 0.99 c ?
             (Rta.:    T´/ T0= 7.09)

5. Un avión vuela a 3x10-6 c (3240 Km/h). Asumiendo que la Tierra fuera un sistema inercial, indicar:
        a. ¿En qué proporción se verá contraída la longitud del avión con respecto a la Tierra?
        b. ¿Durante un año medido en tierra (3.16x107 seg), qué intervalo de tiempo marcará el reloj del avión?

(Rta: No se detectarán cambios, ni de longitud ni de tiempo)

6. Demuestre que si un fenómeno es causal no puede existir un sistema de referencia en el cual el orden de los sucesos esté invertido.
            (Solución en la última parte del capítulo de Simultaneidad)

7. Dos naves espaciales se aproximan desde posiciones opuestas en un sistema inercial. Si la velocidad de cada una de ellas es de 0,9 c, calcule la velocidad relativa entre las naves.
            (Rta.: Velrel= - 0.994 c)  Solución

8. Un haz luminoso se mueve a lo largo del eje y’ del sistema inercial S’ con velocidad c. S’ se está moviendo con respecto a S según el eje x con una velocidad V constante. Se pide:
        a. Hallar las componentes vx y vy del haz con respecto a S.
            (Rta.: vx= V    vy= [c2-V2]1/2)     
        b. Demostrar que la velocidad de la luz con respecto a S es c.
            (Rta.: c2 = vx2 + vy2)

9. Un cuerpo se mueve a una velocidad v3 = 0.9 c a lo largo del eje x” de un sistema inercial S”. S” se mueve hacia la derecha a una velocidad v2 = 0.9 c sobre el eje x’ de un sistema S’, y S’se mueve hacia la derecha a una velocidad v1 = 0.9 c sobre el eje x de un sistema S.
Se pide hallar la velocidad del cuerpo con respecto a S.
            (Rta.: v = 0.9997 c)

10. Dos naves espaciales de 100 m de longitud propia se mueven en sentido opuesto a velocidad 0.8 c respecto a la Tierra (suponga el sistema inercial). Se pide:
        a. Indicar que longitud tiene cada nave con respecto a la otra.
            (Rta.: L' = 21.95 m)
        b. En el instante t = 0, medido en Tierra, las proas de las naves se cruzan. Calcular la diferencia de tiempo que marcará el reloj de la Tierra cuando se crucen sus popas.
            (Rta.: T = 2.5x10-7 seg)

11. Un tren cuya longitud propia es de 1200 m pasa a gran velocidad por una estación cuyo andén mide 900 m, y el jefe de la estación observa que al pasar el tren ocupa exactamente toda la longitud del andén. Se pide calcular la velocidad del tren.
             (Rta.: 0.66 c)

12. Una nave espacial pasa frente a la Tierra (suponga inercial el sistema) a una velocidad v = 0.6 c. En ese instante un observador en la Tierra y el tripulante de la nave ponen simultáneamente sus relojes en cero. Cuando el tripulante de la nave lea 60 seg en su reloj mandará una señal luminosa hacia la Tierra. Cuando el observador de la Tierra reciba la señal, a su vez mandará hacia la nave una señal de confirmación. Se pide:
        a. ¿A qué hora según él reloj de la Tierra llega la señal de la nave?
             (Rta.: 120 seg)
        b. ¿A qué hora según el reloj de la nave recibirá la señal de confirmación?
             (Rta.: 240 seg)

13. Sea un tren que camina a una velocidad V con respecto a la Tierra. Sobre los extremos del tren caen rayos que dejan marcas P’ y Q’ sobre él, y P y Q sobre la Tierra. Un observador O que esté sobre la Tierra a mitad de camino entre P y Q ve caer los rayos en forma simultánea. Indicar si ocurrirá o no lo propio para un observador O’ situado en el punto medio del tren (ejemplo propuesto por Einstein).
             Solución

14. Sea un sistema S en el cual ocurren dos sucesos E1 y E2 (fenómeno causal).
E1 determina a E2, y por lo tanto t1< t2. Demostrar que según un sistema S’ cualquiera que se mueve con respecto a S hacia la derecha con una velocidad V, E1 y E2 ocurrirán en instantes   t’1 y t’2, siendo t’1 <  t’2.
             Solución en la última parte del capítulo de Simultaneidad

15. Un electrón se mueve a una velocidad v = 1.8 x 108 m/seg con respecto a un observador inercial. Indicar:
        a. Su masa.                                 (Rta.: m=1.25 m0=1.14x10-30 Kg)       
        b. Su energía cinética.                 (Rta.: 0.128 Mev)
        c. Su energía total.                      (Rta.: 0.638 Mev)

16. Un protón es acelerado hasta que su energía cinética es igual a su energía en reposo (938,28 MeV).
Hallar la relación v/c.                            (Rta.: 0.866    El dato de la energía en reposo no es necesario)

17. Un electrón es acelerado hasta que su energía cinética es 1000 MeV. Indicar:
        a. La relación m/mo.                     (Rta.: 1958)
        b. La relación v/c.                         (Rta.: 0.999...)

18. ¿Qué potencial eléctrico constante debe usarse para llevar un protón a la velocidad 0.6 c?. ¿Cuál será su energía total?. ¿Cuál será su energía cinética?. ¿Cuál será su cantidad de movimiento?.
            (Rta.: ETOTAL=1172.85 MeV; ECINÉTICA=234.57 MeV; V=2.34x108 Volts; p=3.75x10-19 Kg m/seg)

19. Indicar el trabajo necesario para llevar un electrón de la velocidad 0.6 c a la velocidad 0,9 c.
            (Rta.: W=0.533 MeV)

20. Cuánta energía en MeV es necesaria para llevar la masa de un electrón al doble de su masa en reposo?
            (Rta.: Energía necesaria=0.511 MeV
Indicar:
        a. La velocidad del electrón.         (Rta.: 0.86 c)
        b. Su energía cinética.                  (Rta.: 0.511 MeV)

21. En un sistema inercial actúa una fuerza constante F sobre un cuerpo inicialmente en reposo, durante un tiempo t. Demostrar que se cumple p = F t
           
(Rta.: Usar definición de fuerza e integrar)

22. Una partícula de masa mo en reposo tiene una energía total E. Mostrar que la velocidad de dicha partícula es:

            (Rta.: Usar Principio de Equivalencia y masa relativista)

23. Indicar la cantidad de movimiento de un electrón cuya energía cinética es de 1 MeV.
            (Rta.: p=7.58x10-22 Kg m/seg)

24. ¿Cuál es la velocidad de un electrón que ha sido acelerado por una diferencia de potencial de 105 KVolts?

25. ¿Cuál es la energía cinética de un electrón cuya cantidad de movimiento es de 2 MeV/c ?

26. Calcular la cantidad de movimiento de un electrón cuya velocidad es 0,8 c.

27. La masa en reposo de un muón es de 105 MeV/c2 y su tiempo de vida media es de 2x10-6 seg. Calcular la masa del muón en movimiento, referida al laboratorio, si su tiempo de vida media medida es 7x10-6 seg. Calcular la velocidad del muón.

28. En el sistema S un electrón se mueve hacia la derecha a una velocidad 0.6 c. Un observador se mueve a una velocidad 0.8 c en la misma dirección y sentido que el electrón. Indicar la energía del electrón que mediría el observador.

29. Un fotón gamma tiene una energía de 6 MeV. Determine su cantidad de movimiento.

30. Un cuerpo tiene una masa m y una velocidad v según un sistema inercial S. Indicar la masa que tendrá según un sistema S’ que se desplaza con velocidad V constante hacia la derecha con respecto a S.

31. Un cuerpo de masa mo en reposo se desplaza con velocidad 0.8 c en el sentido positivo del eje x del sistema inercial S, y choca plásticamente con un cuerpo de masa 3 mo, en reposo sobre el eje x de S. Indicar la masa del cuerpo unificado resultante del choque, su masa en reposo y su velocidad.

32. En un tubo de rayos X un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 0,2x105 Volt.
Indicar la cantidad de movimiento de este electrón después de sufrir dicha aceleración.

33. La longitud de una varilla con 10 MeV de energía total se contrae 6.2 % con respecto a su longitud propia. Se pide hallar:
        a. Su masa en reposo.
        b. Su velocidad.
        c. Su energía cinética.

34. Un mesón cuya energía en reposo es de 140 MeV se creó a 100Km sobre el nivel del mar y se mueve verticalmente hacia abajo. Tiene una energía total de 1,5x105 MeV y se desintegra en 2,6x10-8 seg según su propio sistema de referencia. Indicar a que altura sobre el nivel del mar tendrá lugar la desintegración del mesón.

35. Sean dos partículas idénticas que se mueven en sentido contrario y velocidad v con respecto a un sistema inercial. Si su masa en reposo es mo, se pide indicar:
        a. La energía total del sistema, su cantidad de movimiento y la energía cinética de cada partícula.
        b. La energía total del sistema y la energía cinética de cada partícula desde el punto de vista de un observador situado en una de las partículas.

36. Sean dos partículas idénticas cuya masa en reposo sea mo y que se desplazan con respecto al sistema inercial S según el eje x con velocidades v y -2v respectivamente. Indicar:
        a. La energía total del conjunto, su cantidad de movimiento y la energía cinética de cada partícula.
        b. Idem a) pero para un observador situado en la partícula con velocidad v.

37. Sea un triángulo rectángulo de 6 m de base y 8 m de altura, tal como se indica en la figura adjunta. Este triángulo es solidario con un sistema S’ que se mueve a una velocidad 0.8 c según el eje x de un sistema S. Se pide indicar la superficie de dicho triángulo según S’ y según S.

38. Sean dos sucesos E1 y E2 que ocurren en puntos separados sobre el eje x de un sistema inercial S. E1 se produce antes que E2. Analizar que condiciones deben cumplirse para que en otro sistema de referencia S’, E2 se produzca antes que E1.

39. Sean tres partículas idénticas de masa mo en reposo, que con respecto a un sistema S tienen velocidades tales como está indicado en la figura adjunta.

    A. Se pide indicar para un observador situado en S:
        a. La energía total del sistema.
        b. La cantidad de movimiento del sistema.
        c. La energía cinética de cada partícula.
    B. Lo mismo para un observador en B.

40. Un fotón gamma de 4 Mev se aniquila creando un par electrón positrón. Determinar:

        a. La energía cinética de cada partícula.
        b. El ángulo de salida entre electrón y positrón.

41. Un observador inercial nota que dos naves espaciales se aproximan entre sí en una misma dirección, y hacia él. La velocidad de ambas naves con respecto al observador es de 0.8 c y están separadas por 600000 Km para el observador. Se pide averiguar:

        a. En cuanto tiempo, según el observador, chocarán ambas naves.
        b. La velocidad de cada nave con respecto al piloto de la otra nave.
        c. El tiempo que tiene el piloto de una de las naves para evitar una colisión.